Accueil Agrégation Sur le théorème des fonctions implicites

Sur le théorème des fonctions implicites

423

On propose des exercices corrigés sur le théorème des fonctions implicites. Pourquoi ce théorème est l’un des grands théorème de mathématiques. Souvent, si vous avez un système de k équations non linéaires avec k inconnues, il n’est pas facile voire impossible de le résoudre avec des méthodes classiques. Le théorème de la fonction implicite nous permet de réduire (en partie) les questions impossibles sur les systèmes d’équations non linéaires à des questions simples sur les systèmes d’équations linéaires. C’est bien! Certaines propositions de calcul différentiel sont essentielles pour comprendre le théorème de la fonction implicite.

Énoncé du théorème des fonctions implicites

Théorème: Soit $F:\Omega\subset\mathbb{R}^p\times \mathbb{R}^q\to \mathbb{R}^q$ une fonction de classe $C^k$ sur un ouvert $\Omega$.  Soit $(a,b)\in \Omega$ tel $F(a,b)=0$. On suppose que la matrice \begin{align*}\begin{pmatrix}\frac{\partial F_1}{\partial y_1}(a,b)& \cdots& \frac{\partial F_1}{\partial y_q}(a,b)\\ \vdots& \ddots&\vdots\\\frac{\partial F_q}{\partial y_1}(a,b)& \cdots& \frac{\partial F_q}{\partial y_q}(a,b)\end{pmatrix}\end{align*} est inversible. Alors on peut trouver un ouvert $U$ de $(a,b)$ dans $\mathbb{R}^p\times \mathbb{R}^q$ est un voisinage $V$ de $a$ dans $\mathbb{R}^p$ et une fonction $G:V\to\mathbb{R}^q$ de classe $C^k$ tel que pour tour $(x,y)\in U$, on a \begin{align*} F(x,y)=0\Longrightarrow y=G(x).\end{align*}

Cas particulier du théorème: On prend le cas $p=q=1$, $(a,b)\in \Omega\subset \mathbb{R}^2$, tel que $F(a,b)=0$ et $\partial_y F(a,b)\neq 0$. Alors il existe un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^2$ contenant $(a,b)$, et il existe un ouvert $V$ de $\mathbb{R}$ contenant $a$ et une fonction $G:V\to\mathbb{R}$ de classe $C^k$ tel que pour tout $(x,y)\in U,$ $F(x,y)=0$ est equivalent a $y=G(x)$. De plus, on a \begin{align*}G'(x)=-\frac{\partial_xF(x,G(x))}{\partial_yF(x,G(x))},\qquad \forall x\in V.\end{align*}

Exemple d’application: A rédiger….

Article précédentExercices corrigées sur l’optimisation
Article suivantThéorème de Hahn-Banach et ses corollaires