Nous proposons d’étudier une famille d’opérateurs de translation dans les espaces de Lebesgue. Ce genre d’opérateurs définissent la solution de l’équations de transport. Ils entrent également dans l’étude des équations de retard, systèmes fréquemment rencontrés en ingénierie.
Opérateurs de translation
Soit $p\ge 1$ un nombre réel. On rappel que l’espace de Lebesgue $L^p(\mathbb{R}^+)$ est l’espace de fonction mesurables et $p$-intégrable sur $\mathbb{R}^+$. Cet un espace de Banach muni de la norme suivante\begin{align*}\|f\|_p:=\left(\int^{+\infty}_0 |f(s)|^pds\right)^{\frac{1}{p}},\qquad f\in L^p(\mathbb{R}^+).\end{align*} De plus, on définit une famille d’application sur $L^p(\mathbb{R}^+)$ par \begin{align*} (T_t f)(s)=f(t+s),\quad \forall t,s\ge 0.\end{align*} Un première remarque c’est que pour chaque $t\ge 0$, $T_t$ est une application linéaire sur $L^p(\mathbb{R}^+),$ et que \begin{align*} \int^{+\infty}_0 |(T_t f)(s)|^pds&= \int^{+\infty}_0 |f(t+s)|^pds\cr &= \int^{+\infty}_t |f(s)|^pds\cr &\le \|f\|_p^p .\end{align*} Ceci montre que pour tout $t\ge 0,$ on a $T_t\in\mathcal{L}(L^p(\mathbb{R}^+))$ et \begin{align*}\|T_t f\|_p\le \|f\|_p,\qquad \forall f\in L^p(\mathbb{R}^+).\end{align*}
D’autre part, on a pour tout $t,s\ge 0,$ \begin{align*}T_0=Id,\qquad T_{t+s}=T_t\circ T_s=T_s\circ T_t.\end{align*} Dans ce que la famille $(T_t)_{t\ge 0}$ satisfait se qu’on appelle la propriété des semi-groupes.
Problème: Montrer que la famille $(T_t)_{t\ge 0}$ est fortement continue. C’est à dire que pour tout $f\in L^p(\mathbb{R}^+)$ on a \begin{align*} \lim_{t\to s}\|T_t f-T_s f\|_p=0.\end{align*}
Solution: Premièrement, on posons $t=s+h$ et on utilisant la propriété des semi-groupes on voit que \begin{align*}\|T_t f-T_s f\|_p \le \|T_h f-f\|_p.\end{align*} Donc il suffit de montrer que \begin{align*}\tag{L} \lim_{h\to 0}\|T_h f- f\|_p=0.\end{align*} Deuxièmement, nous allons montrer (L) est vraie sur l’espace des fonction continues à supports compact $\mathcal{C}_c(\mathbb{R}^+)$ (càd les fonctions qui s’annulent en dehors d’un compact). En effet, soit $f\in \mathcal{C}_c(\mathbb{R}^+),$ et soit $K$ un compact tel que $f(t)\neq 0$ pour tout $t\in K$ et égale à $0$ sinon. On a alors, \begin{align*}\|T_h f- f\|_p&=\int^{+\infty}_0 |f(h+s)-f(s)|^pds\cr &=\int_K |f(h+s)-f(s)|^pds\cr & \le {\rm mes}(K) \left(\sup_{s\in K} |f(h+s)-f(s)|\right)^p.\end{align*} Comme $f$ est continue sur le compact $K,$ alors d’après le théorème de Heine-Borel $f$ est uniformément continue sur $K$. par suite \begin{align*}\lim_{h\to 0}\sup_{s\in K} |f(h+s)-f(s)|=0.\end{align*} Par suite (L) est vrais pour tout $f\in \mathcal{C}_c(\mathbb{R}^+)$.
Troisièmement, on sait que l’espace $\mathcal{C}_c(\mathbb{R}^+)$ est dense dans $L^p(\mathbb{R}^+)$, ceci veux dire que\begin{align*}L^p(\mathbb{R}^+)=\overline{\mathcal{C}_c(\mathbb{R}^+)}^{|\cdot|_p}.\end{align*} Donc pour tout $f\in L^p(\mathbb{R}^+),$ il existe une suite $(f_n)\subset \mathcal{C}_c(\mathbb{R}^+)$ qui converge vers $f$ pour la norme $\|\cdot\|_p$. Ainsi, pour tout $\varepsilon>0$ il existe $m\in \mathbb{N}$ tel que\begin{align*} \|f_m-f\|_p\le \varepsilon.\end{align*} Maintenant, on écrit \begin{align*} \|T_h f-f\|_p&\le \|T_h (f-f_m)\|_p+\|T_h f_m-f_m\|_p+\|f_m-f\|_p\cr \le & 2 \|f_m-f\|_p+\|T_h f_m-f_m\|_p\cr& \le 2 \varepsilon+\|T_h f_m-f_m\|_p\end{align*} Comme $f_m\in \mathcal{C}_c(\mathbb{R}^+)$, alors d’après le calcul en haut, il existe $\delta>0$ tel que si $0< h< \delta,$ alors $\|T_h f_m-f_m\|_p\le \varepsilon$; et donc \begin{align*} \|T_h f-f\|_p\le 3\varepsilon.\end{align*} Ce qu’il fallait démontrer.
