Annales corrigés sur les intégrales pour bac

Des annales corrigés sur les intégrales pour bac sont proposés. Ce sont des sujets corrigées du baccalauréat scientifique sur les intégrales. Il est entendu que chaque année l’intégrale est incluse dans le sujet du baccalauréat. Vous devez donc maîtriser le calcul intégral. C’est le but de cet article. Pour le niveau bac, les intégrales sont simplement définies pour des fonctions continues sur des intervalles bornés (calculer l’aire sous la courbe d’une fonction). Mais au niveau supérieur on peut aussi parler d’intégrale d’une fonction bornée à condition qu’elle satisfasse une autre condition supplémentaire.

Une sélection d’annales corrigés sur les intégrales pour bac

Problème: Soit la fonction définie par \begin{align*}g(x)=\int^x_{\frac{1}{x}} \frac{\ln(t)}{t}dt.\end{align*}

1. Trouver le domaine $D_g$ sur lequel la fonction est définie.
2. Montrer que $g$ est dérivable sur $D_g$ et calculer $g'(x)$ pour tout $x\in D_g$.
3. Montrer que $g$ est la fonction nulle

Solution:

1. Soit la fonction $f$ définie par \begin{align*}f(t)=\frac{\ln(t)}{t}.\end{align*} Remarquons que la fonction $f$ est seulement définie sur l’intervalle $(0,+\infty)$. Ainsi la quantité $g(x)$ is bien définie si et seulement si $x\in (0,+\infty)$. D’où $D_g=(0,+\infty)$.
2. Comme $f$ est continue sur $(0,+\infty)$, alors on a le droit de considérer  la primitive $F$ de la fonction $f$. On a alors\begin{align*}F(x)=\int^x_c f(t)dt\end{align*}avec $c\ge 0$ une constante réelle. On sait que la fonction $F$ dérivable sur $(0,+\infty)$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in (0,+\infty)$. D’autre part, on a\begin{align*}g(x)&=\int^x_c f(t)dt+\int^c_{\frac{1}{x}}f(t)dt\cr &= F(x)-F\left(\frac{1}{x}\right)\end{align*}pour tout $x\in (0,+\infty)$. Donc $g$ est dérivable sur $(0,+\infty)$ . De plus, pour tout $x>0,$\begin{align*}g'(x)&=F'(x)-\left(F\left(\frac{1}{x}\right)\right)’\cr &= f(x)- \left(\frac{1}{x}\right)’ F’\left(\frac{1}{x}\right)\cr &= \frac{\ln(x)}{x}+\frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right)\cr &= \frac{\ln(x)}{x}-\frac{\ln(x)}{x}=0.\end{align*}
3. Comme la dérivée de $g$ sur $(0,+\infty)$ est nulle, alors $g$ est la fonction constante sur $(0,+\infty)$. Mais $g(1)=0$, ce qui implique que $g(x)=0$ pour tout $x\in (0,+\infty)$.

Problème: On désire calculer l’expression de la fonction $\Phi:$ \begin{align*} \Phi(x)=\int^x_{\frac{1}{x}} \frac{dt}{(t+1)^2(t^2+1)}.\end{align*}

1. Montrer que l’ensemble de définition de $\Phi$ est $D_\Phi=]0,+\infty[$ (Indication poser $f(t)=\frac{1}{(t+1)^2(t^2+1)}$ et remarquer que $f$ n’est pas définie pour $t=-1$. Donc il faut discuter dans quel cas $-1$ n’est pas compris entre $x$ et $\frac{1}{x}$).
2.  Soit $F$ la primitive de $f$. Vérifier que \begin{align*} \Phi(x)=F(x)-F(\frac{1}{x}),\quad \forall x\in ]0,+\infty[.\end{align*} En déduire que $\Phi$ est dérivable sur son domaine et calculer $\Phi'(x)$ pour tout $x>0$.
3. Calculer l’expression de $\Phi(x)$ pour $x\in ]0,+\infty[$ (Indication: remarquer que $\Phi(1)=0$).
4. Application: Soit $\alpha\in ]0,\frac{\pi}{2}[$. On pose \begin{align*} I(\alpha)=\int^{\frac{\pi}{2}-\alpha}_\alpha \frac{\cos^2(\theta)}{1+\sin(2\theta)}d\theta.\end{align*} En faisant le changement de variable $t=\tan(\theta),$ montrer que \begin{align*} I(\alpha)=-\Phi(\tan(\alpha)).\end{align*} En déduire l’expression de $I(\alpha)$.

Solution: Très bientôt.

Remarque: Vous pouvez aussi consulter les fonctions définies par une intégrale.