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Nombres complexes et trigonométrie

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On propose des exercices corrigés sur les nombres complexes et trigonométrie pour le lycée. Il s’agit d’un élément fondamental du programme du baccalauréat scientifique. De plus, ce sujet est présent dans les tests de mathématiques de la dernière année. En fait, tout ce que vous devez savoir comme base pour des nombres complexes est la représentation algébrique et polaire de ces nombres. De plus, il faut savoir résoudre des équations algébriques dont la variable est un nombre complexe.

Exercices sur les nombres complexes et trigonométrie

Les exercices suivants sur les nombres complexes et trigonométrie s’adressent aux élèves du baccalauréat scientifique.

Exercice: Soit $P$ la fonction polynôme de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$:\begin{align*}P(z)=z^3-iz^2+cz+d\end{align*}où $c$ et $d$ sont des nombres complexes.

  1. Sachant que $P(i)=0,$ trouver une relation entre $c$ et $d$, et montrer que\begin{align*}(\forall z\in\mathbb{C})\quad P(z)=(z-i)(z^2+c).\end{align*}
  2. On donne de plus $P(1)=8+16 i,$ calculer $c$ et résoudre l’équation\begin{align*}P(z)=0,\qquad \forall z\in\mathbb{C}.\end{align*}

Solution:

  1. Déterminons une relation entre $c$ et $d$. On a\begin{align*}P(i)=0&\;\Longleftrightarrow\; -i+i+ci+d=0\cr &\;\Longleftrightarrow\; d=-ci.\end{align*}Donc pour tout $z\in\mathbb{C}$ on a\begin{align*}P(z)&=z^3-iz^2+cz-ci\cr&= z^2(z_i)+c(z-i)\cr &= (z-i)(z^2+c).\end{align*}
  2. Calculons $x:$ On a\begin{align*}P(1)=8+16 i&\;\Longleftrightarrow\; 1-i+c+d=8+16 i\cr &\;\Longleftrightarrow\; 1-i+c+-ci=8+16 i \cr &\;\Longleftrightarrow\; c=\frac{7+17 i}{1-i}=-5+12 i.\end{align*}Résolutions de l’équation $P(z)=0$: On a\begin{align*}P(z)=0&\;\Longleftrightarrow\; (z-i)(z^2-5+12i)=0\cr &\;\Longleftrightarrow\; z=i\quad \text{ou}\;z^2=5-12 i.\end{align*}Or $(3-2 i)^2=5-12 i$. Donc $P(z)=0$ si et seulement si $z=i,$ ou $z=3-2i,$ ou $z=-3+2i$. L’ensemble de solution est donc\begin{align*}S=\{i,3-2i,-3+2i\}.\end{align*}

Exercice:

  1. Trouver les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ vérifiant la relation:\begin{align*}z_1z_2=i,\qquad z_1-z_2=1+i.\end{align*}
  2. Mettre $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.

Solution:

  1. Dans cette question il faut bien faire attention et de ne pas se lancer dans des calcul horrible. En effet, il serait maladroit de déterminer $z_1$ en fonction de $z_2,$ puis de reporter l’expression de $z_1$ dans la deuxième équation. Nous allons présenter une autre méthode plus courte et plus élégante: On a\begin{align*}\begin{cases} z_1 z_2=i\cr z_1-z_2=1+i\end{cases}\;\Longleftrightarrow\;\begin{cases} z_1 (-z_2)=i\cr z_1+(-z_2)=1+i.\end{cases}\end{align*}Donc $z_1$ et $(-z_2)$ sont solution de l’équation:\begin{align*}\tag{E}t^2-(1+i)t-i=0.\end{align*}Le discriminant associé a cette équation est\begin{align*}\Delta&= 2i+4i=6i\cr &= \left(\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)\right)^2.\end{align*}Donc $Delta$ admet pour racines carrées:\begin{align*}\Delta_1=\sqrt{3}+\sqrt{3}i\quad \text{et}\quad \Delta_2=-\sqrt{3}-\sqrt{3}i.\end{align*}Les racines de l’équation $(E)$ sont donc\begin{align*}\lambda_1&=\frac{1+i+\Delta_1}{2}\cr &= \frac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i)\end{align*} et \begin{align*}\lambda_2&=\frac{1+i+\Delta_2}{2}\cr &= \frac{1-\sqrt{3}}{2}(1+i).\end{align*}Ainsi on $z_1=\lambda_1$ et $-z_2=\lambda_2$ ou $z_1=\lambda_2$ et $-z_2=\lambda_1$. D’où les solutions du système sont les couples $(\lambda_1,-\lambda_2)$ et $(\lambda_2,-\lambda_1),$ soit\begin{align*}&\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i), \frac{\sqrt{3}-1}{2}(1+i)\right),\;\text{et}\cr&\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}(1+i),\frac{-1-\sqrt{3}}{2}(1+i)\right).\end{align*}

D’autres exercices sur les nombres complexes.

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