Nous donnons exercices sur les groupes pour terminale S, le baccalauréat en sciences mathématiques. C’est une partie complémentaire du programme, mais il arrive qu’il fasse l’objet d’un exercice dans les tests du terminal S.
Une sélection d’exercices sur les groupes pour terminale S
Exercice: Soit $a>0$ un réel. On note par $(GL_3(\mathbb{R}),\times)$ le groupe des matrices d’ordre $3$ qui sont inversibles. Pour chaque $h\in\mathbb{R},$ on définie une matrice \begin{align*}A(h)=\begin{pmatrix}a^h & 0& 0\\ 0 & 1 & h\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\end{align*}On note par\begin{align*}\mathcal{E}=\left\{A(h)\;|\; h\in\mathbb{R}\right\}.\end{align*}
- Montrer que $\mathcal{E}$ est un sous groupe de $(GL_3(\mathbb{R}),\times)$.
- Soit $\varphi: (\mathbb{R},+)\to (\mathcal{E},\times)$ tel que $\varphi(h)=A(h)$. Montrer que $varphi$ est un isomorphisme de groupe (morphisme bijectif).
Solution:
- Il faut montrer que $E\neq \emptyset$, $\mathcal{E}\subset GL_3(\mathbb{R}),$ pour $(h,k)\in\mathbb{R}^2,$ $A(h)A(k)\in \mathcal{E}$ et $A(h)^{-1}\in \mathcal{E}$. En effet, la matrice $A(0)$ est la matrice identité $I_3$ donc $A(0)=I_3\in \mathcal{E}$. Pour tout $h\in\mathbb{R}$ on a $\det(A(h))=a^h\neq 0$ donc $A(h)$ est inversible pour tout $h\in \mathbb{R}$. Ceci implique que $\mathcal{E}\subset GL_3(\mathbb{R})$. En utilisant les régles de calcul de produit de matrices, on trouve\begin{align*}A(h)A(k)&=\begin{pmatrix}a^h & 0& 0\\ 0 & 1 & h\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a^k & 0& 0\\ 0 & 1 & k\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cr & = \begin{pmatrix}a^{h+k} & 0& 0\\ 0 & 1 & h+k\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cr &= A(h+k)\in\mathcal{E}.\end{align*}Remarquons que $A(h)A(-h)=A(-h)A(h)=A(h-h)=A(0)=I_3$. Donc l’inverse de la matrice $A(h)$ est $A(h)^{-1}=A(-h)\in \mathcal{E}$. Ainsi $\mathcal{E}$ est un sous groupe.
- D’après le calcul fait dans la question 1, on a pour tout $h,k\in \mathbb{R},$\begin{align*}\varphi(h+k)=A(h+k)=A(h)A(k)=\varphi(h)\varphi(k).\end{align*}Donc $\varphi$ est un morphisme de groupes. Montrons que $varphi$ est bijectif. Soit $C\in \mathcal{E}$. Par définition de $\mathcal{E}$ il existe $h\in \mathbb{R}$ tel que $C=A(h)=\varphi(h),$ ce qui montrer que $\varphi$ est surjectif. Montrons qu ‘il est aussi injectif. En effet, soit $h,k\in \mathbb{R}$ tel que $\varphi(h)=\varphi(k),$ alors $A(h)=A(k)$. Deux matrices sont égales si leurs coefficient sont égaux, donc on il est claire que $h=k$.
Exercice: Soit l’intervalle $G=]-1,1[$ muni de la loi $\ast$ définie, pour tout $(x,y)\in G^2,$ par:\begin{align*}x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}.\end{align*}
- Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne sur $G$.
- Montrer que $(G,\ast)$ est un groupe commutatif.
Solution:
- Soit $x,y\in G$. Il faut tout d’abord montrer que $x\ast y$ est bien défini (pour cela il faut montrer que $xy+1\neq 0$). En effet, on a $|x| <1$ et $|y| < 1,$ donc $|xy| < 1$. Ce qui implique que $xy>1$ et donc $xy+1>0$. Par suite $\ast$ est bien définie. Montrons que $x\ast y\in G$. Comme $xy+1>0$ alors\begin{align*}x\ast y < 1 &\;\Longleftrightarrow\; x+y < 1+xy\cr & \;\Longleftrightarrow\; x(y-1)+1-y>0\cr & \;\Longleftrightarrow\; (1-y)(1-x)>0,\; (\text{ce qui est vrai}).\end{align*}De même,\begin{align*}x\ast y>-1\;\Longleftrightarrow\; (1+x)(1+y)>0,\; (\text{ce qui est vrai}).\end{align*}Donc pour tout $(x,y)\in G^2,$\begin{align*}x\ast y\in G.\end{align*}La loi $\ast$ est donc une loi de composition interne sur $G$.
- Pour tout $x\in G$ on a $x\ast 0=0\ast x=x$, et donc $0$ est l’élémént neutre de $\ast$. La loi $\ast$ est associative. En effet, pour tout $x,y,z\in G$ on a\begin{align*}(x\ast y)\ast z&=\frac{x+y+z+xyz}{1+xy+yz+zx}\cr & x\ast (y\ast z).\end{align*}Ainsi $\ast$ est associative. Montrons que tout élément $x$ admet un symétrique. En effet $x\ast(-x)=(-x)\ast x=0$. Ainsi $(G,\ast)$ est un groupe. En remarque que $x$ et $y$ jeux le même rôle dans $x\ast y$. Donc $x\ast y=y\ast x$. par suite $(G,\ast)$ est un groupe commutatif.
Remarque: D’autres exercices plus difficiles sur des groupes. Voir aussi les annales du bac.
