Nous proposons des exercices corrigés sur les équations avec des inconnues complexes. Nous allons vous guider à travers les étapes essentielles pour résoudre ces équations, en mettant l’accent sur la manipulation habile des nombres complexes pour isoler les inconnues. Grâce à des exemples concrets et des explications détaillées, nous explorerons comment ces équations sont utilisées pour résoudre des problèmes dans divers domaines des mathématiques, de la physique et de l’ingénierie.
Exercices corrigés sur les équations avec des inconnues complexes:
Equations du second degré à coefficients réels
Exercice 1: Résoudre les équations avec des inconnues complexes suivantes \begin{align*}& 3z^2+4z+2=0, \cr & z^2+z+1=0.\end{align*}
1- Le discriminant associé à l’équation $3z^2+4z+2=0$ est donné par $\Delta=4^2-4\times 3\times 2=-8$. Nous pouvons également réécrire ce discriminant sous la forme $\Delta= (2\sqrt{2}\;i)^2$. Ainsi notre équation admet deux solutions données par : $$ z_1=\frac{-4+2\sqrt{2}\;i}{6}=\frac{-2+\sqrt{2}\;i}{3}$$ et $$ z_1=\frac{-462\sqrt{2}\;i}{6}=\frac{-2-\sqrt{2}\;i}{3}.$$
2- De même, nous calculons le discriminant que nous trouvons $\Delta=-3=(\sqrt{3}\;i)^2$. On a alors deux solutions $$z_1=\frac{-1+ \sqrt{3}\;i}{2},\quad z_2=\frac{-1- \sqrt{3}\;i}{2}.$$
Résoudre une équation complexe de degré 3
Exercice 2: Soit $P$ la fonction polynôme de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$:\begin{align*}P(z)=z^3-iz^2+cz+d\end{align*}où $c$ et $d$ sont des nombres complexes.
1- Sachant que $P(i)=0,$ trouver une relation entre $c$ et $d$, et montrer que\begin{align*}(\forall z\in\mathbb{C})\quad P(z)=(z-i)(z^2+c).\end{align*}
2- On donne de plus $P(1)=8+16 i,$ calculer $c$ et résoudre l’équation\begin{align*}P(z)=0,\qquad \forall z\in\mathbb{C}.\end{align*}
1- Déterminons une relation entre $c$ et $d$. On a\begin{align*}P(i)=0&\;\Longleftrightarrow\; -i+i+ci+d=0\cr &\;\Longleftrightarrow\; d=-ci.\end{align*}Donc pour tout $z\in\mathbb{C}$ on a\begin{align*}P(z)&=z^3-iz^2+cz-ci\cr&= z^2(z_i)+c(z-i)\cr &= (z-i)(z^2+c).\end{align*}
2- Calculons $x:$ On a\begin{align*}P(1)=8+16 i&\;\Longleftrightarrow\; 1-i+c+d=8+16 i\cr &\;\Longleftrightarrow\; 1-i+c+-ci=8+16 i \cr &\;\Longleftrightarrow\; c=\frac{7+17 i}{1-i}=-5+12 i.\end{align*}Résolutions de l’équation $P(z)=0$: On a\begin{align*}P(z)=0&\;\Longleftrightarrow\; (z-i)(z^2-5+12i)=0\cr &\;\Longleftrightarrow\; z=i\quad \text{ou}\;z^2=5-12 i.\end{align*}Or $(3-2 i)^2=5-12 i$. Donc $P(z)=0$ si et seulement si $z=i,$ ou $z=3-2i,$ ou $z=-3+2i$. L’ensemble de solution est donc\begin{align*}S=\{i,3-2i,-3+2i\}.\end{align*}
Exercice 3: Résolvez l’équation complexe $z^3+4z^2+6z+8=0$. Trouvez toutes les solutions complexes possibles.
Regroupons les termes de l’équation par paires : \[ z^3 + 4z^2 + 6z + 8 = z^2(z + 4) + 2(z + 4) = (z^2 + 2)(z + 4) \]
Maintenant, nous avons une équation factorisée. Pour que l’expression soit nulle, l’un des facteurs doit être nul : \[ z^2 + 2 = 0 \Rightarrow z^2 = -2 \Rightarrow z = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2} \] \[ z + 4 = 0 \Rightarrow z = -4 \]
Donc, les solutions complexes possibles sont \( z = -4 \), \( z = i\sqrt{2} \) et \( z = -i\sqrt{2} \).
Un système d’equations complexes
Exercice 4:
1- rouver les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ vérifiant la relation:\begin{align*}z_1z_2=i,\qquad z_1-z_2=1+i.\end{align*}
2- Mettre $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.
1- Dans cette question il faut bien faire attention et de ne pas se lancer dans des calcul horrible. En effet, il serait maladroit de déterminer $z_1$ en fonction de $z_2,$ puis de reporter l’expression de $z_1$ dans la deuxième équation. Nous allons présenter une autre méthode plus courte et plus élégante: On a\begin{align*}\begin{cases} z_1 z_2=i\cr z_1-z_2=1+i\end{cases}\;\Longleftrightarrow\;\begin{cases} z_1 (-z_2)=i\cr z_1+(-z_2)=1+i.\end{cases}\end{align*}Donc $z_1$ et $(-z_2)$ sont solution de l’équation:\begin{align*}\tag{E}t^2-(1+i)t-i=0.\end{align*}Le discriminant associé a cette équation est\begin{align*}\Delta&= 2i+4i=6i\cr &= \left(\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)\right)^2.\end{align*}Donc $\Delta$ admet pour racines carrées:\begin{align*}\Delta_1=\sqrt{3}+\sqrt{3}i\quad \text{et}\quad \Delta_2=-\sqrt{3}-\sqrt{3}i.\end{align*}Les racines de l’équation $(E)$ sont donc\begin{align*}\lambda_1&=\frac{1+i+\Delta_1}{2}\cr &= \frac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i)\end{align*} et \begin{align*}\lambda_2&=\frac{1+i+\Delta_2}{2}\cr &= \frac{1-\sqrt{3}}{2}(1+i).\end{align*}Ainsi on $z_1=\lambda_1$ et $-z_2=\lambda_2$ ou $z_1=\lambda_2$ et $-z_2=\lambda_1$. D’où les solutions du système sont les couples $(\lambda_1,-\lambda_2)$ et $(\lambda_2,-\lambda_1),$ soit\begin{align*}&\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i), \frac{\sqrt{3}-1}{2}(1+i)\right),\;\text{et}\cr&\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}(1+i),\frac{-1-\sqrt{3}}{2}(1+i)\right).\end{align*}
2- Pour $z_1= \frac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i)$. On ecrie $z_1=r e^{i\theta}$ avec $$r=|z_1|=\sqrt{({\rm Re}(z_1)^2+({\rm Im}(z_1)^2}$$ c’est le module de $z_1$ et $$\theta=\arg(z_1)=\arctan(\frac{{\rm Im}(z_1)}{{\rm Re}(z_1)}).$$ Dans notre cas on $$ {\rm Im}(z_1)={\rm Re}(z_1)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$$ Donc un calcul simple montre que $r=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\sqrt{3})$ et $\theta=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$. Ainsi $$ z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\sqrt{3}) e^{i\frac{\pi}{4}}.$$ On fait la même chose pour les autres nombres complexes.
Conclusion
Que vous soyez un étudiant en quête de maîtrise dans ce domaine, un professionnel confronté à des équations complexes dans votre travail, ou simplement un curieux passionné de mathématiques, ce guide vous fournira une base solide pour résoudre des équations avec des inconnues complexes. Préparez-vous à plonger dans ce domaine stimulant et à découvrir les merveilles des mathématiques complexes.
