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Exercices sur les familles sommables

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On propose des exercices sur les familles sommables. C’est une notion plus générale que les séries usuelles. C’est une sommation par paquets des séries. Ce chapitre est fondamentale dans le cours de mathématiques spéciale (deuxième année des classes préparatoires).

Un paquet d’exercices sur les familles sommables

Exercice: Soit $I$ un ensemble d’indice quelconque et soient $(x_i)_{i\in I}$ et $(y_i)_{i\in I}$ deux familles sommables avec $x_i,y_i\in\mathbb{R}^+$ pour tout $i\in I$. Montrer que la famille $(\sqrt{x_iy_i})_{i\in I}$ est sommable.

Solution: Pour tout $i\in I,$ and $0\le (\sqrt{x_i}-\sqrt{y_i})^2=x_i+y_i-2 \sqrt{x_iy_i}$. Donc \begin{align*} \sqrt{x_iy_i} \le \frac{1}{2}(x_i+y_i).\end{align*} Comme la famille $(x_i+y_i)_{i\in I}$ est sommable, alors c’est la même chose pour la famille $(\sqrt{x_iy_i})_{i\in I}$.

Exercice: Soit $\alpha>1$ et $\beta>1$ deux nombres reels. Nature de \begin{align*} \sum_{(p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2} \frac{1}{\alpha^p+\beta^q}.\end{align*}

Solution: Comme dans l’exercice précédent, nous avons $\alpha^p+\beta^q\ge 2 (\alpha)^{\frac{p}{2}}(\beta)^{\frac{q}{2}}$. Par suite \begin{align*}\frac{1}{\alpha^p+\beta^q} \le \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\alpha}\right)^{\frac{p}{2}} \left(\frac{1}{\beta}\right)^{\frac{q}{2}}.\end{align*} Puisque $\sqrt{\alpha^{-1}}, \sqrt{\beta^{-1}}\in ]0,1[$, alors les séries \begin{align*} \sum_{p=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{\alpha}\right)^{\frac{p}{2}} \quad\text{et}\quad \sum_{q=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{\beta}\right)^{\frac{q}{2}}\end{align*} sont convergentes. Ainsi la famille $(\frac{1}{\alpha^p+\beta^q})_{(p,q)\in(\mathbb{N}^\ast)^2}$ est sommable.

Exercice: Étudier la nature des familles suivantes: \begin{align*} \left(\frac{1}{1+pq}\right)_{(p,q)\in (\mathbb{N}^\ast)^2}, \quad \left(\frac{1}{1+p^\alpha q^\beta}\right)_{(p,q)\in (\mathbb{N}^\ast)^2},\quad \alpha,\beta\in ]1,+\infty[.\end{align*}

solution: Si on fixe $p\in\mathbb{N}^\ast,$ alors \begin{align*} \frac{1}{1+pq}\underset{q\to\infty}{\sim} \frac{1}{pq}.\end{align*} Comme la série harmonique $\sum_{q=1}^{+\infty}\frac{1}{pq}=\frac{1}{p}\sum_{q=1}^{+\infty}\frac{1}{q}$ est divergente, alors la famille $\left(\frac{1}{1+pq}\right)_{(p,q)\in (\mathbb{N}^\ast)^2}$ n’est pas sommable, d’après le théorème de Fubini. Pour la deuxième famille, on remarque que pour tout $(p,q)\in (\mathbb{N}^\ast)^2,$ on a \begin{align*} 0< \frac{1}{1+p^\alpha q^\beta}< \frac{1}{p^\alpha q^\beta}.\end{align*} De plus, pour $p$ fixer, puisque $\beta>1,$ alors d’après la série de Riemann on a \begin{align*}\sum_{q\ge 1}\frac{1}{p^\alpha q^\beta}=\frac{1}{p^\alpha } \sum_{q\ge 1}\frac{1}{q^\beta}\end{align*} est convergente. Comme $\alpha>1,$ alors la série \begin{align*}\sum_{p\ge 1}\frac{1}{p^\alpha } \left(\sum_{q\ge 1}\frac{1}{q^\beta}\right)\end{align*} converge aussi. Maintenant, d’après le théorème de Fubini, la famille $(\frac{1}{p^\alpha q^\beta})_{p,q}$ est sommable. Ce qui fallait démontrer.

Exercice: Nature et calcul de\begin{align*}\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k!}.\end{align*}

Solution: On défini\begin{align*}\forall (n,k)\in\mathbb{N}^2,\qquad a_{k,n}:=\begin{cases} \frac{1}{k!},& n\le k,\cr 0,& n\ge k.\end{cases}\end{align*}Donc il faut montrer que la famille $(a_{k,n})_{(k,n)\in\mathbb{N}^2}$ est sommable. Si in fixe $k,$ alors on a\begin{align*}\sum_{n=0}^{+\infty}a_{k,n}=\sum_{n=0}^k \frac{1}{k!}=\frac{k+1}{k!}.\end{align*}Or $\frac{k+1}{k!}$ est le terme d’une série convergente, donc la famille $(a_{k,n})_{(k,n)\in\mathbb{N}^2}$ est sommable et que\begin{align*}\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k!}&=\sum_{(k,n)\in\mathbb{N}^2} a_{k,n}\cr &=\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}a_{k,n}\right)\cr & =\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k+1}{k!}\cr & =\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(k-1)!}\cr &= 2e.\end{align*}

Exercice: Étudier, suivant les valeurs du réel $\alpha,$ la sommabilité  de \begin{align*} & \left\{a_{m,n}:=\frac{1}{(n+m)^\alpha}:(m,n)\in (\mathbb{N}^\ast)^2\right\}\cr &  \left\{b_{m,n}:=\frac{1}{(n^2+m^2)^\alpha}:(m,n)\in (\mathbb{N}^\ast)^2\right\}.\end{align*}

Solution: Avant de donner la réponse, nous préférons faire ce rappel : Théorème (sommation par paquets) Soit $I$ un ensemble d’indice et $(I_p)_p$ une partition de $I$. Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs. Alors $(u_i)_{i\in I}$ est sommable si et seulement si $(u_i)_{i\in I_p}$ et sommable et la série  $\sum_p \sum_{i\in I_p}u_i$ est convergente.

On pose $I:=(\mathbb{N}^\ast)^2$. Pour la famille $(a_{m,n})_{(m,n)\in I}$, soit $I_p=\{(m,n)\in (\mathbb{N}^\ast)^2:m+n=p\}$ pour $p\ge 2$. Remarquons que $(I_p)_{p\ge 2}$ est une partition de $I$ et que ${\rm Card}I_p=p-1$. Comme $I_p$ est finie alors la famille $\{a_{m,n}:(m,n)\in I_p\}$ est sommable. De plus on a \begin{align*} \sum_{(m,n)\in I_p}\frac{1}{(n+m)^\alpha}= \frac{{\rm Card}I_p}{p^\alpha}=\frac{p-1}{p^\alpha}\underset{p\infty}{\sim}\frac{1}{p^{\alpha-1}}.\end{align*}  Par comparaison avec la série de Riemann la série $\sum_p \sum_{(m,n)\in I_p}a_{m,n}$ est convergente si et seulement $\alpha>2,$ . Ainsi la famille $(a_{m,n})_{(m,n)\in I}$ est sommable si et seulement $\alpha>2,$ vue le théorème de sommation par paquets.

Pour la famille $(b_{m,n})_{(m,n)\in I}$ la méthode de sommation par paquets n’est pas efficace car on ne sait pas trop bien évaluer le cardinal de l’ensemble $J_p=\{(n,m)\in I: m^2+n^2=p\}$. Donc il faut raisonner par les méthodes standards. Par comparaison avec la série de Riemann pour tout $m\ge 1,$  $0\le b_{m,n}\le \frac{1}{n^\alpha}$, donc la série $\sum_n b_{m,n}$  est convergente si et seulement si $\alpha>1$. D’autre part, \begin{align*}A_m=\sum_{n\ge 1} b_{m,n}\le \frac{1}{2^\alpha} \frac{1}{m^\alpha} \sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^\alpha}, \end{align*} car $m^2+n^2\ge 2 mn$. Donc la série $\sum_m A_m$ converge si et seulement si $\alpha>1$. D’où le résultat. 

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