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Nous proposons des exercices sur la réduction des endomorphismes. Calcul des valeurs propres et les vecteurs propres d’un endomorphisme. Notion de polynômes caractéristiques des endomorphismes.
Sélections d’exercices sur la réduction des endomorphismes
Exercice: Soit $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ dont la matrice dans la base canonique $B_c=(e_1,e_2,e_3)$ est\begin{align*}A=\begin{pmatrix}2&0&4\\3&-4&12\\1&-2&5\end{pmatrix}.\end{align*}
- Montrer que $A$ est diagonalisable.
- Déterminer les sous-espaces propres de $f$.
- En déduire une base propre de $\mathbb{R}^3$ qu’on notera par la suite $B’$.
- Donner la nouvelle matrice de $f$ dans la base $B’$ qu’on notera $A’$, i.e. $A’={\rm mat}_{B’}(f)$.
- Déterminer la matrice $P$ de passage de la base $B$ à la base $B’$.
- Donner la formule de changement de base.
- Calculer les puissances $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Solution:
- Soit $P$ le polynôme caractéristique de $A$, i.e. $P(\lambda)=\det(A-\lambda I_3)$. Un calcul standard du déterminant nous donne\begin{align*}P(\lambda)=-\lambda (\lambda-1)(\lambda-2).\end{align*} Donc la matrice $A$ possède trois valeurs propres simples $\lambda_0=0,\,\lambda_1=1$ et $\lambda_2=2$ (en dimension $3$), donc $A$ est diagonalisable. On rappel que l’ensemble des valeurs propres de $A$ est appelé le spectre de $A$ et ce note par $\sigma(A)$. Dans ce cas, on $$\sigma(A)=\{0,1,2\}={\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2}.$$
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