Exercices corrigés de topologie pour licence de mathématiques

Exercices corrigés de topologie des espaces métriques et des espaces vectoriels normés. En particulier, nous discutons des propriétés des normes, des normes complètes et du concept important de compacité. Nous parlerons également brièvement de la topologie générale en montrant son utilité dans certains cas.

Exercice: Soit $E$ l’espace vectoriel des suites bornées $(u_n)_n$ une de $\mathbb{R}$ avec terme initial $u_0=0$. On pose \begin{align*}|u|_\infty:=\sup_{n\ge 0}|u_n|,\quad\text{et}\quad N(u):=\sup_{n\ge 0} |u_{n+1}-u_n|.\end{align*}

  1. Montrer que $|\cdot|_\infty$ et $N(\cdot)$ sont deux normes sur $E$.
  2. Montrer que $|\cdot|_\infty$ est plue fine que $N(\cdot)$. Montrer que $|\cdot|_\infty$ et $N(\cdot)$ ne sont pas équivalementes.

Solution: 1- Soit la suite réelle $(u_n)$ dans $E$ telle que $|u|_\infty=0$. Comme pour tout $n\ge 0$ $|u_n|\le |u|_\infty,$ on a $|u_0|=0$ pour tout $n\ge 0,$ et donc $u=0$ (la suite nulle). De même Si $N(u)=0$ alors on a $|u_{n+1}-u_n|=0$ pour tout $n\ge 0$. Donc $u_{n+1}=u_n$ pour tout $n\ge 0,$. Ainsi $u$ est la suite constante, donc $u_n=u_0=0$ pour tout $n$. Soit $\lambda\in\mathbb{R}$, alors\begin{align*}&|\lambda u|_\infty:=\sup_{n\ge 0}|\lambda u_n|=|\lambda|\sup_{n\ge 0}|u_n|=|\lambda||u|_\infty\cr
& N(\lambda u):=\sup_{n\ge 0} |\lambda(u_{n+1}-u_n)|=|\lambda|N(u).\end{align*} Soient $u=(u_n)$ et $v=(v_n)$ deux suites dans $E$. Alors\begin{align*}|u_n+v_n|\le |u_n|+|v_n|\le |u|_\infty+|u|_\infty,\qquad \forall n\ge 0.\end{align*} Ceci montrer que $ |u|_\infty+|u|_\infty$ est un majorant de ${|u_n+v_n|:n\ge 0}$. Comme le sup est le plus petit des majorants, on a $ |u+v|_\infty\le |u|_\infty+|u|_\infty$. De la même façon, \begin{align*}|(u_{n+1}+v_{n+1})-(u_n+v_n)|&= |(u_{n+1}-u_n)+v_{n+1}-v_n)|\cr & \le
|(u_{n+1}-u_n)|+|v_{n+1}-v_n)|\cr & \le N(u)+N(v).\end{align*}Donc $N(u+v)\le N(u)+N(v)$. Conclusion $|\cdot|_\infty$ et $N(\cdot)$ dont deux normes sur $E$.

2- Pour tout $u=(u_n)$ dans $E,$ on \begin{align*}|u_{n+1}-u_n|\le |u_{n+1}|+|u_n|\le 2|u|_\infty.\end{align*}Ce qui implique que $N(u)\le 2 |u|_\infty$. Donc $|\cdot|_\infty$ est plue fine que $N(\cdot)$.

Exercice: Soit $(E,d)$ un espace métrique. La distance d’un point $x$ de $E$ à une partie non vide $A\subset E$ est par définition le nombre\begin{align*}d(x,A)=\inf_{y\in A}d(x,y).\end{align*}

  1. Vérifier que pour chaque $x\in E,$ $d(x,A)$ existe. Maintenant on définie la distance de deux sous ensembles non vides de $E$ par\begin{align*}\inf_{x\in A,y\in B}d(x,y).\end{align*}
  2. L’ensemble $A$ étant fixé, montrer que l’application $d_A:E\to \mathbb{R}$ est lipshitzienne. Quand a-t-on $d(x,A)=0$?
  3. L’ensemble $A$ étant fixé, montrer que l’application $d_A:E\to \mathbb{R}$ est lipshitzienne. Quand a-t-on $d(x,A)=0$?
  4. Soient $F$ et $K$ deux parties non vides de $E$ telles que $F$ est fermé et $K$ un compact. Montrer qu’il existe $a\in K$ tel que $d(K,F)=d(a,F)$. Quand a-t-on $d(K,F)=0$?

Solution:

  1. On pose $\Omega(x):={d(x,y):y\in A}$. Comme $A$ est non vide, alors il contient au moins $y_0\in A$. par suite $d(x,y_0)\in \omega(x)$, et donc $\Omega(x)$ est non vide. D’autre part, comme les éléments de $\Omega(x)$ sont que des distances ils sont tous positifs, cela signifie que $\Omega(x)$ est minorée par $0$. Donc $\inf\Omega(x)$ existe, c’est égale à $d(x,A)$.
  2. Soient $x,y\in E $ et $z\in A$. On a $d_A(x)\le d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$. alors $d_A(x)-d(x,y)\le d(y,z)$ pour tout $z\in A$. donc $d_A(x)-d(x,y)$ est un minorant de $\Omega(y)$. Donc il est est plus petit que $\inf\Omega(y)=d(y,A)=d_A(y)$. Par suite $d_A(x)-d(x,y)\le d_A(y),$ et donc $d_A(x)-d_A(y)\le d(x,y)$. Comme $x$ et $y$ sont symétriques on a aussi $d_A(y)-d_A(x)\le d(y,x)=d(x,y)$. Donc\begin{align*}|d_A(x)-d_A(y)|\le d(x,y),\qquad \forall x,y\in E.\end{align*}ce qui montre que l’application $d_A$ est lipschitzienne. Si $d(x,A)=0$ alors par la caractérization des de $\inf$ par les suites, il existe $(y_n)\subset A$ tel que $d(x,y_n)\to 0$ quand $n\to \infty$, donc la suite $(y_n)\subset A$ converge vers $x$, ce qui signifie aussi que $x\in A$.
  3. Supposons que $A$ est compact, pour $x\in E$ fixé, l’application $\varphi:A\to \mathbb{R}$ a chaque $y\mapsto \varphi(y)=d(x,y)$ est continue, donc d’après le théorème de Heine-Borel, elle atteint sa borne inf. Donc il existe $a\in A$ tel que $\inf{\varphi(y):y\in A}=\varphi(a)=d(x,A)$. Ce qui signifie que $d(x,A)=d(x,a)$. Supposons que $E$ un e.v.n et $\dim(E) < \infty$. Comme $d(x,A)=\inf{d(x,y):y\in A},$ alors il existe une suite $(y_n)\subset A$ telle que $d(x,y_n)\to d(x,A)$ quand $n\to\infty$. Ainsi la suite réelle $(d(x,y_n))_n$ est borné, donc il existe $r>0$ tel que $|d(x,y_n)|=d(x,y_n)\le r$. Ce qui implique que $(y_n)_n \subset \overline{B}(x,r)$, donc la suite $(y_n)_n$ est bornée dans $E,$ qui est de dimension finie donc admet une sous suite $(y_{\psi(n)})_n$ convergente vers $a\in A$ car $A$ est fermé (il faut aussi remarquer que $\overline{B}(x,r)$ est un compact). Comme \begin{align*}\lim_{n\to \infty} d(x,y_{\psi(n)})=d(x,A),\end{align*}alors par continuité de la distance on a \begin{align*}d(x,a)=\lim_{n\to \infty} d(x,y_{\psi(n)})=d(x,A).\end{align*}

Enregistrer un commentaire

Post a Comment (0)

Plus récente Plus ancienne

ça peut vous intéresser