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Exercices sur les fonctions höldériennes

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Nous proposons des exercices sur les fonctions höldériennes. cette classe contient aussi les fonctions Lipschitziennes, donc les fonctions uniformément continues.

Définition et exemples de fonctions höldériennes

Définition: Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Une fonction $f:I\to \mathbb{R}$ est dite fonction höldérienne d’indice $\alpha\in ]0,1]$ ou $\alpha$-höldérienne s’il existe une constante $C_\alpha$ tel que \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le C_\alpha\;|x-y|^{\alpha},\quad \forall x,y\in I.\end{align*}

Les fonctions $1$-höldérienne son exactement les fonctions Lipschitziennes. De plus toutes fonction $\alpha$-höldérienne est uniformément continue sur $I$. En effet, pour $\varepsilon>0,$ on choisi $\eta:=\left(\frac{\varepsilon}{C_\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha}}$. Donc pour tout $x,y\in I$ avec $|x-y|<\eta$ implique $C_\alpha\;|x-y|^{\alpha}<\varepsilon$, donc $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Cela prouve la continuité uniforme de $f$.

Exemple: la fonction racine carree est $\frac{1}{2}$-höldérienne, puisque pour tout $x,y\in \mathbb{R}^+,$ on a \begin{align*} |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le |x-y|^{\frac{1}{2}}.\end{align*} Cela implique que la fonction racine carrée est uniformément continue sur $\mathbb{R}$. On peut aussi montrer ce résultat en utilisant le théorème de Heine sur $[0,a]$ ($a>0$) et le fait que la fonction racine carrée est Lipschitizienne sur $[a,+\infty[$.

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