Exercices sur les intégrales impropres

On propose quelques exercices sur les intégrales impropres (intégrales généralisées). En effet, on propose toutes les types de convergences, à savoir, convergence simple, et convergence absolue. On donne aussi des exercices sur la relation entre intégrales généralisées et séries numériques.

Une sélection d’exercices sur les intégrales impropres

Exercice:

1. Soint $a$ un réel, et $f:[a,+\infty[\to\mathbb{R}$ une application uniformément continue sur $[a,+\infty[$, telle que l’intégrale \begin{align*}\int^{+\infty}_a f(x)dx\end{align*}soit convergente.
2. Application 1: Montrer que l’intégrale\begin{align*}\int^{+\infty}_0\sin(\sin(x))dx\end{align*}est divergente.
3. Application 2: Montrer que l’intégrale $x\mapsto \sin(x^2)$ n’est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}^+$.

Exercice:

1. Soit $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ admettant une limite en $+\infty$. Montrer que si $a>0,$\begin{align*}\int^{+\infty}_0 (f(t+a)-f(t))dt\end{align*}converge.
2. Calculer\begin{align*}\int^{+\infty}_0 (\arctan(t+a)-\arctan(t))dt.\end{align*}