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Arithmétique des entiers

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Nous proposons des exercices corrigés d’arithmétique des entiers pour la classe de mathématiques supérieures. En effet, se sont des exercices sur la division euclidienne, sur la congruence et sur les nombres premiers. En fait, c’est une extension du cours vu au terminal des sciences mathématiques. Notez que l’Arithmétique intervient dans le calcul dans un anneau. Un des applications de l’Arithmétique est l’algorithme d’Euclide.

Sélection d’exercices corrigés d’arithmétique des entiers

Exercice: Montrer que $7$ divise $3^{2019}+4^{2019}$.

Solution: Remarquons que\begin{align*}4\equiv -3\;{\rm mod}\;7.\end{align*}Or $2019$ est impair, donc $4^{2019}\equiv -3^{2019}\;{\rm mod}\;7$. D’où le résultat.

Exercice: Soient $a,b\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}^\ast$ tels que $a\equiv b \;{\rm mod}\;n.$ Montrer que\begin{align*}a^n\equiv b^n \;{\rm mod}\;n^2\end{align*}

Solution: Puisque $a\equiv b \;{\rm mod}\;n,$ alors il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a=b+kn$. En passe à la puissance $n,$ et on utilise la formule de binôme on trouve\begin{align*}a^n=(b+kn)^n&= \sum_{p=0}^n \binom{n}{p}b^{n-p} k^pn^p\cr &= b^n+\binom{n}{1}b^{n-1} kn+\sum_{p=2}^n \binom{n}{p}b^{n-p} k^pn^p.\end{align*}Mais $\binom{n}{1}=n,$ alors\begin{align*}a^n- b^n&=b^{n-1} kn^2+\sum_{p=2}^n \binom{n}{p}b^{n-p} k^pn^p\cr &= \left(b^{n-1} k+\sum_{p=2}^n \binom{n}{p}b^{n-p} k^pn^{p-2}\right)\;n^2\cr &= r n^2\end{align*}avec \begin{align*}r:=b^{n-1} k+\sum_{p=2}^n \binom{n}{p}b^{n-p} k^pn^{p-2}\in\mathbb{Z}.\end{align*}D’où le résultat.

Exercice: Montrer que quel que soit $n\in\mathbb{Z},$ on a $7$ devise $2^{4^n}+5$.

Solution: L’idée c’est le raisonnement par récurrence. En effet, pour $n=0$ on a $2^{4^0}+5=2+5=7,$ donc c’est vraie. Maintenant, supposons la propriété est vraie à l’ordre $n$. On a alors $2^{4^n}+5 \equiv 0 \;{\rm mod};7$. Comme $5\equiv -2 \;{\rm mod}\;7$, alors $2^{4^n} \equiv 2 \;{\rm mod}\;7$. D’autre part,\begin{align*}2^{4^{n+1}}=2^{4^n\times 4}= \left(2^{4^n}\right)^4\equiv 2^4 \;{\rm mod}\;7\equiv 2 \;{\rm mod}\;7.\end{align*}Ainsi $2^{4^{n+1}}+5 \equiv 0 \;{\rm mod};7$.

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