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Exercices sur les fonctions dérivables

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Nous proposons des exercices sur les fonctions dérivables. Des applications du théorème des accroissements finis (TAF) sont données. De plus, on propose des exercice sur le calcul des dérivées de fonctions classiques. En fin, des exercices sur les extremums des fonctions sont introduits.

Un paquet d’exercices sur les fonctions dérivables

Exercice:

  1. Soient les fonctions suivantes $$ f(x)=|x|^{x}\quad\text{et}\quad g(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}.$$ Peut on prolonger les fonctions $f$ et $g$ par continuité sur $\mathbb{R}$. Les prolongements sont ils dérivables au point $0$?
  2. Soit la fonction $f(t)=t^7+t$. Dire pourquoi $f$ est une bijection sur $\mathbb{R}$ et que $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. D’autre part, calculer la fonction dérivée $(f^{-1})^{‘}$. Que vaut $(f^{-1})^{‘}(0)$ et $(f^{-1})^{‘}(2)$?
  3. Soit la fonction \begin{align*}f(x)=\begin{cases} 2x^2+x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right),& x\neq 0, \cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*}
  4. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$. Est ce que $f$ est de classe $C^1$ sur $[0,+\infty[$?

Solution:

  1. On peut étendre $f$ par continuité au point $0$. Déjà $f$ est bien définie et continue sur $\mathbb{R}^\ast$. Pour que $f$ soit prolongeable au point $0$ il faut que la limite de $f$ en $0$ existe. On a $$ \lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} e^{x\ln(|x|)}=1,$$ car $x\ln(|x|)\to 0$ quand $x\to 0$. Donc $f$ est prolongeable par continuité en $0$ et son prolongement continu est donné par \begin{align*}\varphi(x)=\begin{cases}|x|^{x},& x\neq 0,\cr 1,& x=0.\end{cases}\end{align*} On a \begin{align*}\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0}&=\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{e^{x\ln(|x|)}-1}{x}\cr &=\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{e^{x\ln(|x|)}-1}{x\ln(|x|)}\,\ln(|x|).\end{align*}En faisant le changement de variable $t=x\ln(|x|)$, on a $tto 0$ quand $x\to 0$. Donc \begin{align*}\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{e^{x\ln(|x|)}-1}{x\ln(|x|)}=\lim_{t\to 0,\,t\neq 0} \frac{e^t-1}{t}=e^0=1.\end{align*}D’autre part, comme $\ln(|x|)\to -\infty$ quand $x\to 0,$ alors $$ \lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0}=-\infty. $$ Par suite $\varphi$ n’est pas dérivable en $0$. La fonction $g$ est bien définie est continue sur $\mathbb{R}^\ast$. Comme $e^{-\frac{1}{x^2}}\to 0$ quand $x\to \infty,$ alors $g$ est prolongeable par continuité en $0$ et son prolongement continu est donné par \begin{align*}\psi(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}},& x\neq 0,\cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*} On a \begin{align*}\lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{\psi(x)-\psi(0)}{x-0}&= \lim_{x\to 0,\;x\neq 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}= \lim_{t\to\infty} te^{-t^2}=0.\end{align*}Donc $\psi$ est dérivable en $0$ et $\psi'(0)=0$.
  2. On a $f$ est fonction polynôme, donc elle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. De plus on a $f'(t)=7t^6+1>0$ pour tout $t\in \mathbb{R}$. Ce qui implique que la fonction $f$ est strictement croissante, d’où la bijectivité de $f$. Comme la fonction dérivée $f’$ ne s ‘annule pas sur $\mathbb{R},$ alors $f^{-1}$ est dérivable en tout point $x\in D(f^{-1})=\mathbb{R}$ (le domaine de définition de $f^{-1}$). On a \begin{align*}(f^{-1})^{‘}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{7(f^{-1}(x))^6+1},\qquad \forall x\in\mathbb{R}.\end{align*}On a $f(0)=0,$ donc $f^{-1}(0)=0$ et donc $(f^{-1})^{‘}(0)=0$. D’autre part, $f(1)=2,$ ce qui implique $f^{-1}(2)=1$. Ainsi $(f^{-1})^{‘}(2)=\frac{1}{8}$.
  3. Dans un premier temps nous allons étudier la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$. Déjà $f$ est continue sur $\mathbb{R}^ast$ comme composé, produit et somme de fonctions continues sur $\mathbb{R}^\ast$. Mais $|f(x)|\le 3x^2\to 0$ quand $x\to 0$. Donc $f(x)\to 0=f(0)$ quand $x\to 0$. Ceci montre que $f$ est continue en $0,$ et donc sur $\mathbb{R}$. Dans un deuxième temps; on a $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^\ast$ et $f'(x)=4x+2\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x})$ pour tout $x\in\mathbb{R}^\ast$. De plus on a\begin{align*}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= 2x+x\sin(\frac{1}{x})=0.\end{align*}Donc $f$ est dérivable en $0$ et que $f'(0)=0$. Par suite $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa fonction dérivée est donnée par\begin{align*}f'(x)=\begin{cases}4x+2\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}),& x\neq 0,\cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*}Comme $\sin(\frac{1}{x})$ et $\cos(\frac{1}{x})$ n’ont pas de limite en $0$, $\lim_{x\to 0}f'(x)$ n’existe pas. Donc la fonction dérivée $f’$ n’est pas continue en $0$, ainsi $f$ n’est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.

Sur les fonctions fonctions lipschitziennes

Exercice:

  1. Soit $K$ un compact de $\mathbb{R}$ et $f:K\to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^1$ sur $K$. Montrer que $f$ est une fonction lipschitzienne sur $K$, c’est à dire il existe une constante réelle $\gamma>0$ tel que $$ |f(x)-f(y)|\le \gamma |x-y|,\qquad \forall x,y\in K. $$ Supposons que $0\in K$. Montrer qu’il existe deux constantes $a,b\in\mathbb{R}^+$ telles que $|f(x)|\le a|x|+b$ pour tout $x\in K$.
  2. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ on a $$ |\sin(x)|\le |x|\quad\text{et}\quad |\arctan(x)|\le |x|. $$
  3. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction continue. Soit $x_0\in I$ tel que $f$ est dérivable sur $I\backslash\{x_0\}$ et $\lim_{t\to x_0,\,t\neq x_0}f'(t)=\ell\in\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est dérivable en $x_0$ et que $f'(x_0)=\ell$.
  4. Montrer que la fonction $x\mapsto f(x)=e^{-\sqrt{x}}$ est uniformément continue sur $[1,+\infty[$.

Solution:

  1. Soient $x,y\in K$. Par application du théorème des accroissements finis sur l’intervalle d’extrémités $x$ et $y$, il existe donc un réel $c$ compris entre $x$ et $y$ (bien sur il dépend de $x$ et $y$) tel que $$ f(x)-f(y)=f'(c) (x-y). $$ En passant à la valeur absolu, on a $$ |f(x)-f(y)|=|f'(c)| |x-y|. $$ Comme $f$ est de classe $C^1$ sur $K$, alors la fonction dérivée $f’:K\to \mathbb{R}$ est continue sur $K$. Comme $K$ est compact, alors d’après le théorème de Heine $f’$ est bornée sur $K$. Ainsi il existe une constante $\gamma>0$ telle que $|f'(t)|\le \gamma$ pour tout $t\in K$. Et donc $$ |f(x)-f(y)|\le \gamma |x-y|. $$Si $0\in K,$ alors pour tout $x\in K$ on a $$ |f(x)|\le |f(x)-f(0)|+|f(0)|\le \gamma |x|+|f(0)|. $$ Il suffit donc de prendre $a=\gamma$ et $b=|f(0)|$.
  2. On a $x\mapsto \sin(x)$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Le théorème des accroissements finis appliquer a la fonction sinus entre $0$ et $x,$ nous donnes l’existence d’un réel $c_x$ entre $0$ et $x$ avec $\sin(x)-\sin(0)=\sin'(c_x)(x-0)$. Comme $\sin(0)=0$ et $\sin'(c_x)=\cos(c_x)$, et $|\cos(c_x)|\le 1$. Alors ona $$ |\sin(x)|\le |x|,\qquad \forall x\in\mathbb{R}. $$La fonction $x\mapsto \arctan(x)$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Le théorème des accroissements finis appliquer a cette fonction dans un intervalle d’extrémités $0$ et $x,$ nous donnes l’existence d’un réel $c_x$ entre $0$ et $x$ avec $\arctan(x)-\arctan(0)=\arctan'(c_x)(x-0)$. Comme $\sin(0)=0$, et $\arctan(0)=\sin^{-1}(0)=0$. D’autre part, on a $\arctan'(t)=\frac{1}{1+t^2}\le 1$ pour tout $t\in \mathbb{R}$. D’où $$ |\arctan(x)|\le |x|,\qquad \forall x\in\mathbb{R}. $$
  3. Nous allons la caractérisation des limites de fonctions et limites de suites de nombres réels. Soit $n>0$ un entier naturel. Alors $f$ est continue sur $[x_0,x_0+\frac{1}{n}]$ est dérivable sur $]x_0,x_0+\frac{1}{n}[$, donc d’après le théorème des accroissements finis, il existe $c_n\in ]x_0,x_0+\frac{1}{n}[$ tel que $f(x_0+\frac{1}{n})-f(x_0)=f'(c_n)(x_0+\frac{1}{n}-x_0)$. Ce qui donc \begin{align*}\frac{f(x_0+\frac{1}{n})-f(x_0)}{\frac{1}{n}}=f'(c_n).\end{align*}Mais $c_n\to x_0$ and $n\to +\infty$ et $\lim_{t\to x_0,\,t\neq x_0}f'(t)=\ell$, donc $f'(c_n)\to \ell$ quand $n\to+\infty$. Ce qui implique que $$ \lim_{n\to+\infty}\frac{f(x_0+\frac{1}{n})-f(x_0)}{\frac{1}{n}}=\ell. $$ Ainsi $f$ est dérivable en $0$ et que $f'(0)=\ell$.
  4. La fonction $f$ est continue dérivable sur $[1,+\infty[$ et que $|f'(t)|= \frac{e^{-\sqrt{t}}}{2\sqrt{t}}\le \frac{1}{2}$ pour tout $t\ge 1$. D’autre part, par application du théorème des accroissements finis on a pour tout $x,y\in [1,+\infty[$ il existe un réel $c$ entre $x$ et $y$ tel que $$f(x)-f(y)=f'(x)(x-y).$$ Donc $$ |f(x)-f(y)|\le \frac{1}{2}|x-y|.$$ Ainsi $f$ est lipschitzienne, donc uniformément continue.
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