Dans cet article, nous allons plonger dans l’univers des exercices corrigés sur les groupes, en présentant une variété de problèmes, de la théorie de base aux applications avancées. Que vous soyez un étudiant en mathématiques désireux de renforcer votre compréhension des groupes, ou un passionné curieux d’explorer ces structures, ce guide vous accompagnera dans votre voyage.
Une selections d’exercices corrigés sur les groupes
Exercice sur le Groupe de Matrices Carrées Inversibles :
Considérez le groupe $GL(2, \mathbb{R})$ des matrices carrées $2 \times 2$ inversibles avec des coefficients réels. Trouvez les matrices inversibles $A$ telles que $A^2 = I$, où $I$ est la matrice identité.
Nous cherchons les matrices inversibles $A$ telles que $A^2 = I$, où $I$ est la matrice identité $2 \times 2$. Écrivons $$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ et résolvons l’équation $A^2 = I$ \begin{align*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^2&=\begin{pmatrix} a^2+bc&ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{pmatrix}\cr & =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.\end{align*} Cela donne un système d’équations : $a^2 + bc = 1$ et $ab + bd = 0$, ainsi que $ac + cd = 0$ et $bc + d^2 = 1$.
Une solution évidente de ce système est $a = d = 1$ et $b = c = 0$, ce qui correspond à la matrice identité. Une autre solution est $a = -1$, $d = 1$ et $b = c = 0$, ce qui correspond à la matrice de réflexion horizontale. Ainsi, les matrices inversibles qui satisfont $A^2 = I$ sont la matrice identité et les matrices de réflexion horizontale.
Exercices sur les Sous-groupes dans l’Ensemble des Fonctions :
Considérez l’ensemble $F(\mathbb{R})$ de toutes les fonctions réelles définies sur $\mathbb{R}$. Montrez que l’ensemble des fonctions paires forme un sous-groupe de $F(\mathbb{R})$. Ensuite, déterminez si l’ensemble des fonctions croissantes forme également un sous-groupe de $F(\mathbb{R})$.
Partie 1 : Sous-groupe des Fonctions Paires. Soit $F_p(\mathbb{R})$ l’ensemble des fonctions paires, c’est-à-dire les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que $f(x) = f(-x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Vérifions que $F_p(\mathbb{R})$ est un sous-groupe de $F(\mathbb{R})$.
$\bullet$ Fermeture sous l’Opération : Soient $f, g \in F_p(\mathbb{R})$. Alors, $(f * g)(x) = f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) = (f * g)(-x)$, ce qui montre que $f * g$ est également une fonction paire.
$\bullet$ Stabilité par l’Inverse : Si $f \in F_p(\mathbb{R})$, alors $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Par conséquent, $(f^{-1})(-x) = (f(-x))^{-1} = f(x)^{-1} = (f^{-1})(x)$, ce qui implique que $f^{-1}$ est également une fonction paire.
$\bullet$ Contient l’Élément Neutre : L’élément neutre est la fonction constante $e(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, qui est une fonction paire.
Ainsi, $F_p(\mathbb{R})$ est un sous-groupe de $F(\mathbb{R})$.
Partie 2 : Sous-groupe des Fonctions Croissantes. Considérez l’ensemble $F_c(\mathbb{R})$ des fonctions croissantes, c’est-à-dire les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que $f(x) \leq f(y)$ pour tout $x \leq y$ dans $\mathbb{R}$. Nous allons montrer que $F_c(\mathbb{R})$ n’est pas un sous-groupe de $F(\mathbb{R})$.
Contre-exemple : Considérez la fonction constante $g(x) = 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Cette fonction est croissante, mais l’inverse de $g$, c’est-à-dire $g^{-1}(x) = 1$, n’est pas croissant (car $1 \nleq -1$). Par conséquent, $g^{-1}$ n’appartient pas à $F_c(\mathbb{R})$, ce qui montre que $F_c(\mathbb{R})$ n’est pas fermé sous l’opération d’inversion.
En conclusion, $F_p(\mathbb{R})$ est un sous-groupe de $F(\mathbb{R})$, tandis que $F_c(\mathbb{R})$ n’est pas un sous-groupe de $F(\mathbb{R})$.
Soient $\mathbb{R}$ l’ensemble des nombres réels muni du produit usuel, noté « . » et $E:=\mathcal{C}(\mathbb{R})$ l’ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ muni du produit usuel des fonctions, noté « $\times$ » définie par $(f\times g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
1- Vérifier que $\times$ est une loi de composition interne sur $E$.
2- Montrer que l’application définie par: $$ \varphi:(E,\times)\longrightarrow (\mathbb{R},\cdot),\quad f\mapsto \varphi(f)=f(0) $$ est un morphisme (de magmas) non injectif.
3- Montrer que l’application identité de $\mathbb{R}$ est un élément régulier de $(E,\times)$.
4- En déduire que l’image d’un élément régulier par un morphisme non injectif n’est pas forcément régulier (en général).
5- Soient $(E,\top)$ et $(F,\bot)$ deux magmas et $\varphi:(E,\top)\to (F,\bot)$ un morphisme surjectif (de margmas). Montrer que si $\varphi$ est, de plus, injectif alors pour tout $a\in E,$ $a$ est régulier dans $E$ implique $\varphi(a)$ est régulier dans $F$.
1- D’après le cours d’analyse le produit de deux fonctions continues est une fonction continue. Donc la loi $\times$ est une loi de composition interne sur $E$. Comme la loi « $\cdot$ » est commutative sur $\mathbb{R},$ alors pour tout $f,g\in E$ et tout $x\in\mathbb{R}$ on a $f(x)\cdot g(x)=g(x)\cdot f(x)$. Ce qui donne $f\times g=g\times f$, d’où la loi « $\times$ » est commutative.
2- Soient $f,g\in E$. Alors \begin{align*}\varphi(f\times g)&=(f\times g)(0)\cr&=f(0)\cdot g(0)\cr &= \varphi(f)\cdot\varphi(g).\end{align*}Donc $\varphi$ est un morphisme. Montrons que $\varphi$ n’est pas injectif. En effet, soient les fonctions $f(x)=e^{x}$ et $g(x)=e^{-x^2}$ pour $x\in\mathbb{R}$. On a $\varphi(f)=f(0)=1$ et $\varphi(g)=g(0)=1$. Donc $\varphi(f)=\varphi(g)$. Mais on a $f\neq g$. Donc $\varphi$ n’est pas injectif.
3- Soit $I_{\mathbb{R}}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ l’application identité de $\mathbb{R}$ et soient $f$ et $g$ deux fonctions dans $E$ tel que $f\times I_{\mathbb{R}}=g\times I_{\mathbb{R}}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a alors $xf(x)=xg(x)$. Donc pour $x\in\mathbb{R}^\ast$ on a $f(x)=g(x)$. Montrons maintenant que $f(0)=g(0)$. En effet, soit la suite $x_n=\frac{1}{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. Il est claire que $x_n\in\mathbb{R}^\ast$ et donc $f(x_n)=g(x_n)$. Par continuité de $f$ et $g$ et le fait que $x_n\to 0$ quand $n\to \infty,$ on a alors $f(0)=g(0)$. donc $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R},$ ce qui signifie que $f=g$. Ainsi $I_{\mathbb{R}}$ est un élément régulier de $(E,\times)$.
4- On a $\varphi$ est un morphisme non injectif et $I_{\mathbb{R}}$ est régulier dans $(E,\times)$ mais portant $\varphi(I_{\mathbb{R}})=I_{\mathbb{R}}(0)=0$ n’est pas régulier dans $(\mathbb{R},\cdot)$. Conclusion: l’image par un morphisme (de magmas) non injectif d’un élément régulier n’est pas forcément un élément régulier.
5- Supposons que $\varphi$ est de plus injectif. Soient $a\in E$ un élément régulier et $(y,z)\in F^2$ tel que $\varphi(a)\bot y=\varphi(a)\bot z$. Par surjectivité de $\varphi,$ il existe $(b,c)\in E^2$ tel que $y=\varphi(b)$ et $z=\varphi(c)$. D’où \begin{align*}\varphi(a)\bot y=\varphi(a)\bot z&\;\Longrightarrow\;\varphi(a)\bot\varphi(b)=\varphi(a)\bot\varphi(c)\cr & \;\Longrightarrow\;\varphi(a\top b)=\varphi(a\top c)\cr & \;\Longrightarrow\; a\top b=a\top c\qquad \text{injectivité de}\;\varphi,\cr & \;\Longrightarrow\; b=c\qquad (a\;\text{est régulier}),\cr & \;\Longrightarrow\;\varphi(b)=\varphi(c),\cr & \;\Longrightarrow\;y=z.\end{align*} Donc $\varphi(a)$ est régulier à gauche. On montre de même que $\varphi(a)$ est régulier à droite. Ainsi $\varphi(a)$ est un élément régulier dans $F$.
Exercice sur les sous-groupes cycliques
Soit $G$ un groupe et $Z(G)$ son centre, c’est-à-dire l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de $G$. Démontrez que si $G/Z(G)$ est cyclique, alors $G$ est abélien (commutatif).
Supposons que $G/Z(G)$ soit cyclique, c’est-à-dire qu’il existe un élément $xZ(G)$ tel que $G/Z(G) = \langle xZ(G) \rangle$. Cela signifie que pour tout $g \in G$, il existe un entier $k$ tel que $gZ(G) = (xZ(G))^k = x^k Z(G)$.
Considérons deux éléments $a, b \in G$. Puisque $aZ(G) = x^k Z(G)$ et $bZ(G) = x^m Z(G)$ pour certains entiers $k$ et $m$, nous avons $abZ(G) = (x^k Z(G))(x^m Z(G)) = x^{k+m} Z(G)$. D’autre part, $baZ(G) = (x^m Z(G))(x^k Z(G)) = x^{m+k} Z(G)$. Puisque $G/Z(G)$ est abélien (car c’est un groupe cyclique), $abZ(G) = baZ(G)$, ce qui implique que $ab(x^{k+m}Z(G)) = ba(x^{m+k}Z(G))$, c’est-à-dire $abx^{k+m}Z(G) = bax^{m+k}Z(G)$.
Cela montre que $abx^{k+m}Z(G) = bax^{k+m}Z(G)$, et donc $abx^{k+m} = bax^{k+m}$. En simplifiant par $x^{k+m}$ (car $x^{k+m} \in Z(G)$), nous obtenons $ab = ba$. Ainsi, pour tout $a, b \in G$, $ab = ba$, ce qui signifie que $G$ est abélien.
Exercices corrigés sur les groupes symétriques
Considérez le groupe symétrique $S_4$ des permutations d’un ensemble à quatre éléments. Trouvez le centre de ce groupe, c’est-à-dire l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de $S_4$.
Étudiez les sous-groupes de $S_5$, le groupe symétrique des permutations d’un ensemble à cinq éléments. Identifiez les sous-groupes qui sont isomorphes à $S_3$, le groupe symétrique des permutations d’un ensemble à trois éléments.
Pour déterminer les sous-groupes de $S_5$ isomorphes à $S_3$, nous cherchons des sous-groupes qui ont le même nombre d’éléments que $S_3$, c’est-à-dire $3! = 6$ éléments.
Un tel sous-groupe peut être généré par une permutation à trois éléments. Par exemple, considérons le sous-groupe engendré par la permutation $(1 , 2 , 3)$. Les éléments de ce sous-groupe sont $\{(), (1 , 2 , 3), (1 , 3 , 2), (4 , 5), (1 , 2 , 3)(4 , 5), (1 , 3 , 2)(4 , 5)\}$.
Cependant, il y a d’autres sous-groupes isomorphes à $S_3$ dans $S_5$. Par exemple, le sous-groupe engendré par la permutation $(1 , 2 , 4)$ est également isomorphe à $S_3$.
En conclusion, il existe plusieurs sous-groupes de $S_5$ isomorphes à $S_3$, chacun généré par une permutation à trois éléments.
Exercices sur les Morphisme de Groupes et Isomorphisme
Soit $G$ et $H$ deux groupes et $\varphi : G \rightarrow H$ un morphisme de groupes bijectif (isomorphisme). Montrez que si $G$ est abélien (commutatif), alors $H$ est également abélien.
Pour montrer que $H$ est abélien, nous devons démontrer que pour tout $a, b \in H$, $ab = ba$.
Étant donné que $\varphi$ est un isomorphisme, il conserve la structure du groupe et la propriété de commutation. Cela signifie que pour tout $x, y \in G$, $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$.
Puisque $G$ est abélien, nous savons que pour tout $x, y \in G$, $xy = yx$. Appliquons $\varphi$ des deux côtés de cette équation : \begin{align*} \varphi(xy)&=\varphi(yx)\cr \varphi(x)\varphi(y)&=\varphi(y)\varphi(x).\end{align*} Cela montre que $H$ est également abélien.
Soit $G$ un groupe fini et $\varphi : G \rightarrow G$ un morphisme de groupes. Montrez que l’ordre de l’image d’un élément $g \in G$ divise l’ordre de $g$, c’est-à-dire $\text{ord}(\varphi(g))$ divise $\text{ord}(g)$.
Indication : Utilisez le fait que l’image d’un élément sous un morphisme est un groupe.
Considérons l’ordre de l’image de $g$ sous le morphisme $\varphi$, c’est-à-dire $\text{ord}(\varphi(g))$. Puisque $\varphi$ est un morphisme, l’image de $g$ sous $\varphi$ forme un groupe. Soit $H = \varphi(\langle g \rangle)$, le sous-groupe de $G$ engendré par $\varphi(g)$.
Puisque $H$ est un sous-groupe de $G$, l’ordre de $\varphi(g)$ dans $H$, c’est-à-dire $\text{ord}(\varphi(g))$, doit diviser l’ordre de $g$ dans $G$, c’est-à-dire $\text{ord}(g)$. Cela conclut la preuve que $\text{ord}(\varphi(g))$ divise $\text{ord}(g)$.
Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$. Soit $\varphi : G \rightarrow G/H$ le morphisme de groupes défini par $\varphi(g) = gH$, où $G/H$ est le quotient de $G$ par $H$. Montrez que l’image de $\varphi$ est l’ensemble des cosets à gauche de $H$ dans $G$.
L’image d’un morphisme de groupes $\varphi : G \rightarrow H$ est l’ensemble des éléments de $H$ qui sont atteints par l’application $\varphi$. Dans ce cas, le morphisme $\varphi : G \rightarrow G/H$ envoie chaque élément $g$ de $G$ à la classe d’équivalence $gH$ dans le quotient $G/H$.
L’image de $\varphi$ est l’ensemble des éléments $gH$ de $G/H$ tels que $\varphi(g) = gH$. Cela signifie que $gH$ est atteint comme image par $\varphi$, ce qui correspond aux cosets à gauche de $H$ dans $G$. Ainsi, l’image de $\varphi$ est l’ensemble des cosets à gauche de $H$ dans $G$.
Soit $G$ un groupe et $N$ un sous-groupe normal de $G$. Soit $\varphi : G \rightarrow G/N$ le morphisme de groupes défini par $\varphi(g) = gN$, où $G/N$ est le quotient de $G$ par $N$. Montrez que le noyau de $\varphi$ est précisément $N$.
Le noyau d’un morphisme de groupes $\varphi : G \rightarrow H$ est l’ensemble des éléments de $G$ qui sont envoyés à l’élément neutre de $H$. Dans ce cas, le morphisme $\varphi : G \rightarrow G/N$ envoie chaque élément $g$ de $G$ à la classe d’équivalence $gN$ dans le quotient $G/N$.
Le noyau de $\varphi$ est l’ensemble des éléments $g$ de $G$ tels que $\varphi(g) = gN = N$ (l’élément neutre de $G/N$). Cela signifie que $g \in N$. Ainsi, le noyau de $\varphi$ est $N$.
