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Exercices sur les fonctions continues

On propose des exercices sur les fonctions continues. Des exercices corrigés sur les fonctions uniformément continues. On rappel que toutes fonction continue sur un compact est uniformément continue, c’est le théorème de Heine-Borel.

Collection d’exercices sur les fonctions continues

Les exercices sur les fonctions continues sont nombreux. Ici, nous donnons juste une sélection.

Prolongement continu

Exercice 1: Etudier le prolongement continu des fonctions suivantes: \begin{align*} & f(x)=x \sin\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right),\quad x\in ]0,+\infty[,\cr & g(x)=e^{-\frac{1}{x}},\quad x\in \mathbb{R}\setminus\{0\},\cr & h(x)=\frac{\sin(2x)}{\sin(x)},\quad x\in \mathbb{R}\setminus\{0\},\cr & \psi(x)=\sin(x^p) \ln(x)^r,\quad x\in ]0,+\infty[,\quad p >1,\; r\in\mathbb{N}. \end{align*}

$\bullet$ On $f$ est continue sur $]0,+\infty[$ comme composé et produit de fonctions continues. De plus, pour tout $x>0$ on a $$ |f(x)|=\left|x \sin\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right|\le x\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}.$$ Donc $f$ admet une limite au point $0$ égale a $0$. Ainsi $f$ est admet un prolongement continu en $0$, donné par $$ \tilde{f}(x)=\begin{cases} x \sin\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right),& x\in ]0,+\infty[,\cr 0,& x=0.\end{cases}$$

$\bullet$ La fonction $g$ est continue sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. De plus $$ \lim_{x\to 0^+}g(x)=0,\quad \lim_{x\to 0^-}g(x)=+\infty.$$ Donc $g$ n’admet pas de limite en $0$. Ainsi $g$ n’admet pas un prolongement continu en $0$.

$\bullet$ La fonction $h$ est continue sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ car c’est le quotient de deux fonctions continues. D’autre part, par des limites classiques, $$ \lim_{x\to 0} h(x)=2 \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \frac{x}{\sin(x)}=2.$$ Par suite, $h$ admet un prolongement continu en $0$, $$ \tilde{h}(x)=\begin{cases} \frac{\sin(2x)}{\sin(x)},& x\in \mathbb{R}\setminus\{0\},\cr 2,& x=0.\end{cases}$$

$\bullet$ On a $\psi$ est continue sur $]0,+\infty[$ car c’est le produit de deux fonctions continues. D’autre part, \begin{align*} \lim_{x\to 0} \psi(x)&= \lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin(x^p)}{x^p}\right) ( x^p \ln(x)^r)\cr &= \lim_{x\to 0} x^p \ln(x)^r.\end{align*} On pose $y=\ln(x)\to -\infty$ quand $x\to 0$ et $x=e^y$. Donc $$\lim_{x\to 0} \psi(x)= \lim_{y\to -\infty} y^r e^{py}=0.$$ Donc $\psi$ admet un prolongement continu en $0$, $$ \tilde{\psi}(x)=\begin{cases}\sin(x^p) \ln(x)^r,& x\in ]0,+\infty[,\cr 0,& x=0.\end{cases}$$

Applications du théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 2:

  1. Montrer que l’équation $5\tan(x)=\sin(x)+4$ admet une solution dans l’intervalle $[0,\frac{\pi}{4}]$.
  2. Montrer que la polynôme $p(x)=-x^4+2x^3+2$ admet au moins deux racines réelles.
  3. Un théorème de point fixe: Si $f:[a,b]\to [a,b]$ est continue alors l’équation $f(x)=x$ admet au moins une solution.
  4. ⭐⭐ Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ une fonction continue. Montrer que $f$ est forcément la fonction constante sur $[a,b]$.
  5. Montrer que tout polynôme de degré impaire admet au moins une racine réelle.

  1. On pose $\varphi(x)=5\tan(x)-\sin(x)-4$ pour tout $x\in [0,\frac{\pi}{4}]$. Cette fonction est continue sur $[0,\frac{\pi}{4}]$. De plus $\varphi(0)=-4 < 0$ et $\varphi(\frac{\pi}{4})= 1-\frac{\sqrt{2}}{2}>0$. Donc par l’application du théorème des valeurs intermédiaires il existe $c\in ]0,\frac{\pi}{4}[$ tel que $\varphi(c)=0$ est donc $5\tan(c)=\sin(c)+4$.
  2. Remarquons que $p(-1)=-1 < 0,$ $p(0)=2 > 0$ et $p(3)=-25 < 0$. Donc par l’application du théorème des valeurs intermédiaires ils existent $c_1\in ]-1,0[$ et $c_2\in ]0,3[$ tels que $p(c_1)=p(c_2)=0$. Comme $p(0)\neq 0,$ alors $c_1$ et $c_2$ sont distincts.
  3. Soit $\psi(x)=f(x)-x$ pour tout $x\in [a,b]$. Alors $\psi$ est continue sur $[a,b]$. De plus $\psi(a)=f(a)-a\geq 0$ et $\psi(b)=f(b)-b\le 0$ (car $f(a)$ et $f(b)$ sont dans l’intervalle $[a,b]$). Par l’application du théorème des valeurs intermédiaires il existe $c\in [a,b]$ tel que $\psi(c)=0$ et donc $f(c)=c$.
  4. Supposons par l’absurde que $f$ n’est pas la fonction constante, donc il existe $x,y\in [a,b]$ distincts tels que $f(x)\neq f(y)$. Comme l’ensemble $\mathbb{R}$ est bien ordonné, on peut supposer que $f(x) < f(y)$. Par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ il existe $r\in \mathbb{Q}$ tel que $f(x) < r < f(y)$. Maintenant par le théorème des valeurs intermédiaires implique il existe $c$ entre $x$ et $y$ (donc $c\in [a,b]$) tel que $f(c)=r,$ ceci est absurde car par hypothèse on sait que $f(c)\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$. D’où le résultat.
  5. Pour simplifier on peut supposer que $p(x)=ax^3+bx^2+c x+d$ avec $a,b,c,d$ sont des coefficients réels tel que $a>0$. On a alors $$ \lim_{x\to +\infty}p(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty}p(x)=-\infty. $$ Par application de la définition de la limite on peut trouver $\alpha>0$ assez grand et $\beta<0$ assez petit tel que $f(\alpha) > 0$ et $f(\beta) < 0$. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c\in ]\beta,\alpha[$ tel que $p(c)=0$.

Equations fonctionnelles

Exercice 3: ⭐⭐

  1. Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue en $0$ telle que: $$f(x)=f\left(\frac{x}{2}\right),\qquad \forall x\in\mathbb{R}. $$ Montrer que $f$ est la fonction constante.
  2. Le bute de cet exercice est de déterminer toutes les fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $$ f(x+y)=f(x)f(y),\qquad \forall x,y\in\mathbb{R}.$$

  1. Premièrement, on montre par récurrence que pour tout $ x\in\mathbb{R}$ on a: \begin{align*}\tag{$\ast$}f(x)=f\left(\frac{x}{2^n}\right),\qquad \forall n\mathbb{N}.\end{align*}En effet, pour $n=1$ on a l’hypothèse de récurrence est vérifiée. Supposons que la relation $(*)$ vérifiée jusqu’a l’ordre $n$ et on le montre pour $n+1$. On a alors pour $n\in \mathbb{N}$, \begin{align*}f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right)&=f(\frac{\frac{x}{2}}{2^{n}})\cr &=f\left(\frac{x}{2}\right)=f(x).\end{align*}On en déduit alors $$ f(x)=f\left(\frac{x}{2^n}\right),\qquad \forall n\in\mathbb{N}.$$ D’autre part on a $v_n=\frac{x}{2^n}\to 0$ quand $n$ tend vers l’infinie. Il en résulte alors par la continuité de $f$ au point $0$ que $f(v_n)=f\left(\frac{x}{2^n}\right)\to f(0)$ quand $n$ tend vers l’infinie. D’autre part, on a $f(v_n)=f(x)\to f(x)$ quand $n\to+\infty$. Par unicité de la limite on a $f(x)=f(0)$.
  2. Supposons que $f(0)=0$ et soit $x\in\mathbb{R}$. On a $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=f(x)\times 0=0$. Donc $f$ est la fonction nulle sur $\mathbb{R}$. Supposons que $f(0)\neq 0$. Montrons que $f(0)=1$. On a $f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$. Donc $f(0) (1-f(0))=0$. Comme $f(0)\neq 0$, alors $f(0)=1$. Montrons maintenant que $f(x)>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. En effet, on a \begin{align*}f(x)&=f\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)\cr &=(f\left(\frac{x}{2}\right)^2\ge 0.\end{align*}D’autre part, supposons qu’il existe $x_0\in\mathbb{R}$ tel que $f(x_0)=0$. Alors on a $f(0)=f(x_0-x_0)=f(x_0)f(-x_0)=0$. Ceci est absurd, car $f(0)=1$. Donc $f(x)>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. Dans un premier temps on suppose que $n\in\mathbb{N}$. Donc $$ f(n)=f(1+\cdots+1)=\left(f(1)\right)^n=e^{n \ln(f(1))}. $$ On pose $a=\ln(f(1))$. Donc $f(n)=e^{an}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Maintenant soit $n\in\mathbb{Z}$. On a $1=f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)$. Donc $$f(n)=\frac{1}{f(-n)}. $$ Observons que $(-n)\in\mathbb{N}$. Donc d’aprés le premier cas, on a $f(-n)=e^{- an}$. D’où $f(n)=e^{a n}$ pour tout $n\in \mathbb{Z}$. Soit $x\in \mathbb{Q}^+$ tel que $x=\frac{p}{q}$ avec $p,q\in\mathbb{N}$ avec $q$ non nulle et premier avec $p$ ($p\wedge q=1$). On a \begin{align*}f(x)=f\left(\underset{p\;\text{fois}}{\underbrace{\frac{1}{q}+\cdots\frac{1}{q}}}\right)=\underset{p\;\text{fois}}{\underbrace{ f(\frac{1}{q})\times\cdots\times f(\frac{1}{q})}}= \left(f(\frac{1}{q})\right)^p.\end{align*} De la même façon on montre que $$ f(1)=f\left(q\times \frac{1}{q}\right)=\left(f(\frac{1}{q})\right)^q. $$ Par suite $$ f(\frac{1}{q})= f(1)^{\frac{1}{q}}. $$ Ainsi $f(x)=f(1)^x=e^{a x}$ pour tout $x\in \mathbb{Q}^+$. Ceci est vérifié aussi pour tout $x\in\mathbb{Q}$ car $f(x)f(-x)=1$. Soit $x\in \mathbb{R}$. On sait que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, c’est-à-dire $\mathbb{R}=\overline{\mathbb{Q}}$. Ce qui donne $x\in \overline{\mathbb{Q}}$. Donc il existe une suite $(u_n)_n\subset \mathbb{Q}$ telle que $u_n\to x$ quand $n\to+\infty$. Comme $f$ est continue, alors $f(u_n)\to f(x)$ quand $n\to+\infty$. D’autre part comme $u_n\in \mathbb{Q}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ alors d’après la question précédente on a $f(u_n)=e^{a u_n}$. Ce qui implique que $f(u_n)\to e^{a x}$ quand $n\to+\infty$. Par unicité de la limite on a $f(x)=e^{ax}$.

Fonctions discontinues

Exercice 4: ⭐⭐⭐ Soit la fonction $$ f(x)=\begin{cases} 1,& x\in\mathbb{Q},\cr 0,& x\in \mathbb{Q}^c.\end{cases}$$ Montrer que $f$ est discontinue sur $\mathbb{R}$.

Soit $x\in\mathbb{R}$ et supposons, par l’absurde, que $f$ est continue en $x$. Comme $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^c$ sont dense dans $\mathbb{R}$, alors il existent deux suites $(u_n)_n\subset \mathbb{Q}$ et $(v_n)_n\subset \mathbb{Q}^c$ avec $u_n\to x$ et $v_n\to x$ quand $n\to\infty$. Comme on a supposer que $f$ continue en $x$, alors $1=f(x_n)\to f(x)$ et $ 0=f(v_n)\to f(x)$ quand $n\to\infty$. Ce qui est absurde. Donc $f$ n’est pas continue en $x$ et ceci pour tout $x\in\mathbb{R}$.

Exercice 5: ⭐⭐⭐ Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point. Montrer qu’il n’existe pas de fonction continue sur $I$ telle que : $$ f(I\cap \mathbb{Q})\subset \mathbb{Q}^c,\quad f(I\cap \mathbb{Q}^c)\subset \mathbb{Q}.$$

Supposons, par l’absurde, que une telle fonction existe. Comme $I\cap \mathbb{Q}$ est dénombrable, alors son image par $f$, $f(I\cap \mathbb{Q})$ est dénombrable. D’autre part, comme $ f(I\cap \mathbb{Q}^c)\subset \mathbb{Q}$ et aue $\mathbb{Q}$ est dénombrable alors $ f(I\cap \mathbb{Q}^c)\subset \mathbb{Q}$ est dénombrable. Ce qui montre $f(I)$ est dénombrable. Mais par hypthese $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point. Donc $f(I)$ est un intervalle, non réduit à un point, donc non dénombrable.

Sur les points de discontinuités

Exercice 6: ⭐⭐⭐ Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ croissante. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de f est au plus dénombrable.

Pour montrer que l’ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable, nous pouvons utiliser l’idée de l’approximation par les nombres rationnels.

Soit $D$ l’ensemble des points de discontinuité de $f$. Nous allons montrer que $D$ est au plus dénombrable en construisant une injection de $D$ dans l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$.

Considérons $x\in D$, un point de discontinuité de $f$. Puisque $f$ est croissante, cela signifie que les limites à gauche et à droite de $f(x)$ existent, mais elles ne sont pas égales ($f$ a une saut de valeurs à $x$). Soit $$ L_x=\lim_{t\to x^-} f(t),\; R_x=\lim_{t\to x^+} f(t),$$ avec $R_x> L_x$. Par densite de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, il existe $r_x\in\mathbb{Q}\cap ]L_x,R_x[$. Ainsi, pour chaque point de discontinuité $x$, nous pouvons associer un nombre rationnel $r_x$. Cette association est injective car si $x,y\in D$ tels que $x\neq y$ alors les intervalles $]L_x,R_x[$ et $]L_y,R_y[$ sont disjoints (ou se touchent au plus en un point). Par conséquent, les nombres rationnels $r_x$ et $r_y$ associés à $x$ et $y$ sont distincts.

Ainsi, chaque point de discontinuité de $f$ est associé à un nombre rationnel distinct, ce qui prouve que l’ensemble $D$ des points de discontinuité est au plus dénombrable, car il existe une injection de $D$ dans l’ensemble dénombrable $\mathbb{Q)$.

Fonctions périodiques

Exercice 6: Soit $f:[0,+\infty[\to \mathbb{R}$ une fonction continue et $T$-périodique telle que $f(x)$ tend vers $a\in\mathbb{R}$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Montrer que $f$ est la fonction constante sur $[0,+\infty[$.

Tout d’abord, on montre par récurrence que $f(x+nT)=f(x)$ pour tout $x\ge 0$ et tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. En effet, par définition de la périodicité de $f$ on a $f(x+T)=f(x)$, et donc vérifiée pour $n=1$. Supposons que c’est vraie à l’odre $n$, c’est à dire $f(x+nT)=f(x)$ pour tout $x\ge 0$. On a $$ f(x+(n+1)T)=f((x+T)+nT)=f(x+T)=f(x). $$ Donc c’est vraie aussi pour $n+1$. Maintenant montrons que $f$ est la fonction constante. Soit $x\in \mathbb{R}$ arbitraire. On définit la suite de nombres réels $u_n:=x+nT$. Il est claire que $u_n\to +\infty$ quand $n\to+\infty$. D’où $$ \lim_{n\to+\infty}f(u_n)=a. $$ Mais $f(u_n)=f(x+nT)=f(x),$ c’est la suite constante par rapport a $n$. D’où $f(u_n)$ tend aussi vers $f(x)$ quand $n\to+\infty$. Par unicité de la limite on a $f(x)=a$. Comme $x$ est arbitraire dans $[0,+\infty[$, il s’ensuit que $f$ est la fonction constante égale à $a$ sur $[0,+\infty[$.

Fonctions uniformément continues

Dans cette section, nous proposons des exercices classiques sur les fonctions uniformément continues.

Uniforme continuité sur un intervalle non borné

Exercice 7: ⭐⭐⭐⭐ Soit $f: [0,+\infty[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur $[0,+\infty[$ telle que $f(x)$ admet une limite finie $l\in \mathbb{R}$ quand $x\to+\infty$.

  1. Montrer que $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
  2. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $[0,+\infty[$.

  1. En utilisant la définition de la limite lorsque $a$ tend vers l’infini, on obtient que pour tout $\varepsilon>0$, il existe un réel $A>0$ tel que, si $x\ge A$, alors $|f(x)-l|\le \varepsilon$. Par l’inégalité triangulaire, on a aussi $|f(x)|\le \varepsilon+|l|$. Ceci montre que $f$ est bornée par $\varepsilon+|l|$ sur l’intervalle $[A,+\infty[$.

    En examinant maintenant ce qui se passe sur $[0,A]$, remarquons que cet intervalle est un ensemble compact (car les compacts de $\mathbb{R}$ sont les ensembles fermés et bornés). Puisque $f$ est continue, elle est donc bornée sur le compact $[0,A]$ (conséquence du théorème de Heine-Borel). Ainsi $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.

  2. Comme $f$ est continue sur le compact $[0,A]$, alors elle est uniformément sur $[0,A]$. Donc pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que pout $x,y\in [0,A]$ vérifiant $|x-y|\le \delta$ on ait $|f(x)-f(y)|\le \varepsilon$. Maintenant, pour tout $x,y\in [A,+\infty[$ tel que $|x-y|\le \delta$ on a $|f(x)-l|\le \varepsilon$ et $|f(y)-l|\le \varepsilon$. Donc $|f(x)-f(y)|\le 2\varepsilon$.

    Maintenant, soit $x\in [0,A]$ et $y\in [A,+\infty[$ tels que $|x-y|\le \delta$. Deja on a $|f(y)-f(A)|\le \varepsilon$. D’autre part, $|x-A|\le |x-y|\le \delta$. Donc d’apres le premier cas, $|f(x)-f(A)|\le \varepsilon$. Ainsi $|f(x)-f(y)|\le 2\varepsilon$

Sur une fonction définie par un maximum

Exercice 8: ⭐⭐⭐ Soit $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ deux fonctions continues sur $[a,b]$. Montrer que la fonction $$ h(t)=\sup_{x\in [a,b]}(f(x)+tg(x)),\qquad t\in\mathbb{R}, $$ est bien définie et qu elle est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.

Soit $t\in \mathbb{R}$. On pose $$ A_t:=\{f(x)+t g(x): x\in [a,b] \}.$$ Soit $x_0=\frac{a+b}{2}\in [a,b]$, alors $z_0:=f(x_0)+tg(x_0)\in A_t$. Par suite l’ensemble $A_t$ est non vide. Montrons quelle est majorée. Comme $f$ et $g$ sont continues sur le compact $[a,b],$ alors elles sont bornées sur $[a,b]$. Ils existent donc des constantes réels $M_f>0$ et $M_g>0$ telles que $|f(x)|\le M_f$ et $|g(x)|\le M_g$ pour tout $x\in [a,b]$. Soit $z\in A_t$, il existe donc $\sigma\in [a,b]$ tel que $z=f(\sigma)+tg(\sigma)$. Donc $z\le M_f+ t M_g$. Ce qui preuve que $A_t$ est majorée et donc $h(t)=\sup(A_t)$ est bien défini. Montrons que la fonction $h$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$. Soient alors $t,s\in \mathbb{R}$. Pour tout $x\in [a,b]$ on a \begin{align*}f(x)+tg(x)&=(f(x)+s g(x))+ (t-s) g(x)\cr & \le h(s)+ M |t-s|.\end{align*}Ce qui montre que $h(s)+ M_g |t-s|$ est une majorant de l ensemble $A_t,$ donc $h(t)=\sup A_t \le h(s)+ M_g |t-s|$. Comme $s$ et $t$ jouent le même rôle alors on a aussi $h(s)\le h(t)+M_g |t-s|$. Donc\begin{align*}-M_g |t-s|\le h(t)-h(s)\le M_g |t-s|,\qquad \forall t,s\in\mathbb{R}.\end{align*}Ce qui est équivalent à \begin{align*}|h(t)-h(s)|\le M_g |t-s|,\qquad \forall t,s\in\mathbb{R}.\end{align*}Ainsi $h$ est Lipschitzienne, donc uniformément continue par la question (1).

Uniforme continuité et suites de Cauchy

Exercice 9: ⭐⭐ Une suite $(u_n)_n$ de nombres réels est dite une suite de Cauchy s’il existe un rang $N$, tel que $u_p$ et proche de $u_q$ des que $p,q>N$. Autrement dit si, pour tout $\varepsilon>0$ il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $p,q\in\mathbb{N}$ verifiant $p,q>N$ on ait $|u_p-u_q| < \varepsilon$. On admet (pour les classes Prepa) une suite de nombres réels est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.

  1. Soit $I\subset \mathbb{R}$ et $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction uniformément continue sur $I$. Montrer que si $(x_n)\subset I$ est une suite de Cauchy alors son image par $f$ (c’est à dire $(f(x_n))$) est aussi une suite de Cauchy.
  2. Montrer que la fonction $f:]0,+\infty[\to \mathbb{R}$ défine par $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ n’est pas uniformément continue sur $]0,+\infty[$.

  1. Comme $f$ est uniformément continue sur $I,$ alors pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $x,y\in I:$\begin{align*}|x-y|<\alpha\;\Longrightarrow\; |f(x)-f(y)|<\varepsilon.\end{align*}D’autre part, comme $(x_n)_n\subset I$ est une suite de Cauchy alors il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel que pour $p,q\in \mathbb{N}:$\begin{align*}p,q>n_0\;\Longrightarrow\;|x_p-x_q|<\alpha\;\Longrightarrow\; |f(x_p)-f(x_q)|<\varepsilon.\end{align*}D’où le résultat.
  2. Par l’absurd supposons que $f$ est uniformément continue sur $]0,+\infty[$. Donc d’après la question (1), la fonction $f$ transforme toute suite de Cauchy de $]0,+\infty[$ en une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$. Soit alors la suite particulière $u_n=\frac{1}{n^2}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. Cette suite est de Cauchy car elle est convergente. Mais $f(u_n)=n$ qui est pas une suite de Cauchy car elle est divergente. C’est une contradiction avec (1). D’où $f$ n’est pas uniformément continue sur $]0,+\infty[$.

Fonction höldérienne

Exercice 10: ⭐⭐ Soient $\beta,\kappa\in ]0,+\infty[$ et $\psi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction vérifiant\begin{align*}\tag{$H_\beta$} |\psi(t)-\psi(s)|\le \kappa\;|t-s|^\beta,\qquad \forall t,s\in\mathbb{R}.\end{align*} Une telle fonction est appelée une fonction höldérienne.

  1. Montrer que $\psi$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ et qu’il existe une constante $C\in\mathbb{R}$ telle que $|\psi(t)|\le C+\kappa |t|^\beta$ pour tout $t\in\mathbb{R}$.
  2. Dans cette question on suppose que $\beta>1$. Montrer que $\psi$ est identiquement nulle si et seulement si elle s’annule en un point de $\mathbb{R}$ (Indication: il suffit de montrer que $\psi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $\psi'(t)=0$ pour tout $t\in\mathbb{R}$).
  3. Soit $\beta\in ]0,1]$ et $\psi$ une fonction vérifiant $(H_\beta)$. Montrer que la fonction $t\mapsto \sin(t)$ vérifie la condition $(H_1)$ (dans le cas $\beta=1$) avec $\kappa =1$. De plus, montrer que la fonction $h(t)=\sin(\psi(t))$ pour $t\in \mathbb{R}$ vérifie la condition $(H_\beta)$.
  4. Montrer que la fonction $t\ni \mathbb{R}\mapsto \sin(\sqrt{|t|})$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$. (Indication: utiliser les questions (1) et (3).)

  1. Pour montrer que $\psi$ est uniformément continue sur $\mathbb{R},$ il faut se donner un $\varepsilon>0$ (arbitraire) et essayer de trouver (construire) un réel $\alpha>0$ (qui dépend bien sûr de $\varepsilon$) tel que pour tout $t,s\in\mathbb{R}$ avec $|t-s| < \alpha$ alors $|\psi(t)-\psi(s)|<\varepsilon$. Vue la forme de l’inégalié ($H_\beta$), il suffit de choisir $\alpha:=(\frac{\varepsilon}{\kappa})^{\frac{1}{\beta}}$. Donc pour tout $t,s\in\mathbb{R}$ tel que $|t-s|<\alpha$ on a $ \kappa\;|t-s|^\beta<\varepsilon,$ et par suite $|\psi(t)-\psi(s)|<\varepsilon$. C’est l’uniforme continuité de $\psi$. Pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a \begin{align*}|\psi(t)|&=|\psi(0)+\psi(t)-\psi(0)|\cr &\le |\psi(0)|+|\psi(t)-\psi(0)|\cr &\le |\psi(0)|+\kappa |t|^\beta.\end{align*}Il suffit donc de poser $C:=|\psi(0)|$.
  2. Montrons que $\psi$ est dérivable et que sa fonction dérivée $\psi’$ est identiquement nulle. Soit $t\in \mathbb{R}$ fixé. Comme $\beta>1,$ alors on peut écrire $\beta=1+\sigma$ avec $\sigma>0$ (il suffit de prendre $\sigma:=\beta-1>0$). Pour tout $s\in \mathbb{R}$ avec $s\neq t$ on a $$ \left|\frac{\psi(s)-\psi(t)}{s-t}\right|\le \kappa |s-t|^\sigma. $$ Comme $\kappa |s-t|^\sigma\to 0$ quand $s\to t,$ alors $$ \lim_{s\to t}\frac{\psi(s)-\psi(t)}{s-t}=0. $$ Ce qui implique que $\psi$ est dérivable en $t$ et que $\psi'(t)=0$. Comme $t$ est arbitraire, alors $\psi’\equiv 0$ sur $\mathbb{R}$.
  3. Montrons que la fonction sinus satisfait la condition ($H_1$) pour un $\kappa=1$. En effet, la fonction sinus est dérivable en tout point de $\mathbb{R}$ et donc par application du Théorème des accroissements finis à la fonction sinus, pour tout $x,y\in \mathbb{R}$ il existe une constant $c$ entre $x$ et $y$ telle que $\sin(x)-\sin(y)=\cos(c)(x-y)$. Comme $|\cos(c)|\le 1$, alors en passant àla valeur absolue, on a \begin{align*}|\sin(x)-\sin(y)|\le |x-y|,\qquad \forall x,y\in\mathbb{R}.\end{align*}D’autre part, soit une fonction $\psi$ qui satisfait ($H_\beta$). Alors pour tout $t,s\in\mathbb{R}$ on a $$ |\sin(\psi(t))-\sin(\psi(s))|\le |\psi(t)-\psi(s)|\le \kappa |t-s|^\beta. $$ Donc la fonction $t\mapsto \sin(\psi(t))$ satisfait aussi la condition ($H_\beta$).
  4. Tout d’abord il faut remarquer que pour tout $t,s\in\mathbb{R}$ on a $$ \left|\sin(\sqrt{|t|})-\sin(\sqrt{|s|})\right|\le \left|\sqrt{|t|}-\sqrt{|s|}\right|. $$ Il suffit donc de montrer que la fonction racine carrée $t\mapsto \sqrt{|t|}$ est uniformément continue sur $\mathbb{R},$ il suffit donc d’après le point (1) que la fonction racine carrée satisfait la condition ($H_\beta$) pour des constantes $\kappa$ et $\beta$ bien appropriés. Dans un premier temps soit $h\ge 0$ et $s\in \mathbb{R}$. on a $(\sqrt{h}+\sqrt{|s|})^2\ge h+|s|$. Comme la fonction racine carrée est croissante, alors on a $\sqrt{h}+\sqrt{|s|}\ge \sqrt{h+|s|}$. Ce qui donne $$ 0\le \sqrt{h+|s|}-\sqrt{|s|}\le \sqrt{h}. $$ Une autre remarque c’est que les nombres réels $t$ et $s$ jouent le même rôle (ils sont symétriques), donc on peut, sans perdre de généralités, supposer que $|t|ge |s|$. Donc avec cette supposition et si en choisit $h=|t|-|s|\ge 0,$ on trouve $$ 0\le \sqrt{|t|}-\sqrt{|s|}\le \sqrt{|t|-|s|}. $$ Mais on sait que $|t|-|s|=\left ||t|-|s|\right|\le |t-s|$, et donc $\sqrt{|t|-|s|}\le \sqrt{\left| t-s\right|}$. D’où $$ 0\le \sqrt{|t|}-\sqrt{|s|}\le |t-s|^{\frac{1}{2}}. $$ Ainsi $$ \left|\sin(\sqrt{|t|})-\sin(\sqrt{|s|})\right|\le |t-s|^{\frac{1}{2}},\qquad \forall t,s\in\mathbb{R}. $$ D’où le résultat, d’après (1).

Continuité et densité

Exercice: Soit $A$ une partie dense de $\mathbb{R}$. Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f=g$ sur $A$. Montrer que $f=g$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $x\in \mathbb{R}$. Par densité de $A$ dans $\mathbb{R}$ il existe une suite $(u_n)$ d’éléments de $A$ telle que $u_n$ converge vers $x$ quand $n$ tend vers l’infini. Or $f=g$ sur $A$ et $u_n\in A$ pour tout $n$. Donc $f(u_n)=g(u_n)$. On pose $y_n=f(u_n)$, et donc on a aussi $y_n=g(u_n)$. Par continuité de $f$ et $g$ on a $y_n=f(u_n)\to f(x)$ et $y_n=g(u_n)\to g(x)$ quand $n\to+\infty$. Par unicité de la limite on a $f(x)=g(x)$.

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