Sur les fonctions uniformément continues

Exercices corrigés sur les fonctions uniformément continues. Par exemple, nous allons voir que les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues. On rappel que la continuité uniforme joue un rôle important dans l’analyse mathématiques.

Rappel sur les fonctions uniformément continues

On rappel qu’une fonction $f:I\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est dite uniformément continue sur $I$ si pour tout $\varepsilon>0$, il existe un certain $\alpha>0$ tel que pour tout $x,y\in I$, si $|x-x_0| < \alpha,$ alors $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$.

Il est claire que toute fonction uniformément continue est continue. Portant l’inverse n’est pas vrais.

Tout fonction continue sur un compact est uniformément continue. De plus il est bornée, c’est le théorème de Heine-Borel.

Exercises Classiques

Nous donnons quelques exercices classique sur la continuité uniforme des fonctions.

Exercice: Soit $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ une fonction uniformément continue sur $\mathbb{R}^+$. On suppose que pour tout entier $p\in \mathbb{N}^\ast,$ la suite\begin{align*}\left( f\left(\frac{n}{p}\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}\end{align*}est convergente.

  1. Montrer que $\ell$ la limite de cette suite est est independant du choix $p$.
  2. Montrer que $f(x)$ a une limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$

Solution:

  1. Soient $p$ et $q$ deux entiers dans $\mathbb{N}^\ast$. Soient $\ell_p$ et $\ell_q$ les limite, respectives, des suites $(v_n)_n=(f(n/p))_n$ et $(w_n)_n=(f(n/p))_n$. On définit les fonctions strictement croissantes\begin{align*}&\varphi: \mathbb{N}\to \mathbb{N},\quad \varphi(n)=n/p\cr &\psi: \mathbb{N}\to \mathbb{N},\quad \varphi(n)=n/q.\end{align*}Alors $(v_{\varphi(n)})_n$ et $(w_{\psi(n)})_n$ sont deux sous-suites de $(v_n)_n$ et $(w_n)_n,$ respectivement. Donc\begin{align*}\lim_{n\to+\infty}v_{\varphi(n)}=\ell_p,\quad \lim_{n\to+\infty}w_{\psi(n)}=\ell_p.\end{align*}Remarquons, ensuite, que pour tout $n\in\mathbb{n}$ on a\begin{align*}v_{\varphi(n)}=f(n/pq)=w_{\psi(n)}.\end{align*}Ainsi $\ell_p=\ell_q$.
  2. Nous allons montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $A>0$ tel que pour tout $x>A$ on a $|f(x)-\ell| < \varepsilon$. En effet, comme $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}^+,$ pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\alpha >0$ tel que pour tout $x,y\in\mathbb{R}^+$, si $|x-y| \le \alpha$ alors $|f(x)-f(y)|\le \varepsilon/2$. Soit $p$ un entier tel que $p > 1/\alpha$. D’après la question, il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\ge N$ on a $|f(n/p)-\ell|\le \varepsilon/2$. Soit maintenant $x>N/p$. Si on pose $n_0=E(xp)$ alors on a $n_0\le xp < n_0+1$. Donc\begin{align*}0 \le x-\frac{n_0}{p} < \frac{1}{p} < \alpha.\end{align*}Ce qui implique que\begin{align*}|f(x)-f(\frac{n_0}{p})|\le \varepsilon/2.\end{align*}D’autre part, on a $n_0\ge N$, donc $|f(\frac{n_0}{p})-\ell|\le \varepsilon/2$. Ainsi pour $x\ge A=\frac{N}{p}$, on a\begin{align*}|f(x)-\ell|\le |f(x)-f(\frac{n_0}{p})|+|f(\frac{n_0}{p})-\ell|\le \varepsilon/2.\end{align*}D’où le résultat.

Exercice:

  1. Montrer que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ n’est pas uniformément continue si et seulement si il existe deux suite $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ tel que la suite $(x_n-y_n)_n$ tende vers zéro et que la suite $(|f(x_n)-f(y_n)|)_n$ soit minorée.
  2. Montrer que la fonction $f(x)=\sin(x^2),\;x\in\mathbb{R},$ n’est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$.

Solution:

  1. $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si pour tout $\varepsilon >0,$ il existe $\alpha > 0$ tel que pour tout $x,y\in\mathbb{R}$, $|x-y| \le \alpha$ implique que $|f(x)-f(y)|\le \varepsilon$. Par contraposition $f$ n’est pas uniformément continue si et seuelement si il existe $\varepsilon >0,$ tel que pour $\alpha > 0$, il exists $x_\alpha,y_\alpha\in\mathbb{R}$ tel que $|x_\alpha -y_\alpha| \le \alpha$ et $|f(x_\alpha)-f(y_\alpha)|>\varepsilon$. En particulier, pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast,$ on pose $\alpha=\frac{1}{n}$, et donc il existe deux suites $(x_n)_n,(y_n)_n\subset \mathbb{R}$ telles que $|x_n-y_n|\le \frac{1}{n}$ et $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$, pour tout $n$. Ceci montre que $|x_n-y_n|$ tende vers $0$ quand $n\to+\infty$ et que la suite $(|f(x_n)-f(y_n)|)_n$ est minorée.
  2. Pour montrer que la fonction $f(x)=\sin(x^2)$ n’est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$, on choisit les suites suivantes\begin{align*}x_n= \sqrt{n\pi},\qquad y_n=\sqrt{(n+\frac{1}{n})\pi},\qquad n\in\mathbb{N}.\end{align*} On a \begin{align*}x_n-y_n&=\sqrt{n\pi}-\sqrt{(n+\frac{1}{n})\pi}\cr &= \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{n\pi}+\sqrt{(n+\frac{1}{n})\pi}}.\end{align*}Ce qui implique que $x_n-y_n\to 0$ quand $n\to +\infty$. D’autre part, on a\begin{align*}|f(x_n)-f(y_n)|&=|\sin(n\pi)-\cos(n\pi)|\cr &= |0-(-1)^n|=1.\end{align*}Donc d’après la question 1, la fonction $x\mapsto \sin(x^2)$ n’est pas uniformément continue.

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