Le théorème de Banach Steinhaus et applications

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Le théorème de Banach Steinhaus et ses applications à la théorie des opérateurs constituent une bonne partie des mathématiques. En fait, Ce théorème est fondamental; il est est à l’origine de la preuve des grands théorèmes de la théorie des opérateurs. Aussi, nous rappellerons ici ce fameux théorème et donnerons ses applications.

Théorème de Banach-Steinhaus

Soient $E$ et $F$ sont deux espaces de Banach (espaces vectoriels normés et complets). Pour simplifier on note les normes de ces espaces par le même symbole $\|\cdot\|$. On note aussi l’espace des application linéaire continues de $E$ dans $F$ par $\mathcal{L}(E,F)$. De plus on pose $\mathcal{L}(E,E):=\mathcal{L}(E)$.

Sur $\mathcal{L}(E,F)$ on définie une norme par \begin{align*} \|T\|:=\sup_{x\in E,x\neq 0}\frac{\|Tx\|}{\|x\|}.\end{align*}Muni de cette norme $\mathcal{L}(E,F)$ est un espace de Banach. On rappel que si on a une suite d’opérateurs $(T_n)\subset \mathcal{L}(E,F)$ et un opérateur $T\in \mathcal{L}(E,F)$. Si \begin{align*} \lim_{n\to +\infty}\|T_n-T\|=0,\end{align*}alors on dit que $(T_n)$ converge uniformément vers $T$. Dans ce cas, il est facile de voir aussi que, pour tout $x\in E$ on a $\|T_n x-Tx\|\to 0$ quand $n\to\infty$ (convergence dans $F$). C’est la convergence simple ou convergence forte. Par suit, sur $\mathcal{L}(E,F)$ on peut définir deux topologies, à savoir, la topologie uniforme et la topologie forte.

Voici un théorème fondamental d’analyse fonctionnelle.

Théorème de Banach Steinhaus: Soit $E$ et $F$ espace de Banach et soit $(T_i)_{i\in I}\subset \mathcal{L}(E,F)$. On suppose que\begin{align*}\forall x\in E,\quad \sup_{i\in I}\|T_i(x)\| < \infty.\end{align*}Alors on a aussi\begin{align*}\sup_{i\in I}\|T_i\| < \infty.\end{align*}

Applications du théorème de Banach Steinhaus

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach sur le même corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soient $(T_n)_n\subset\mathcal{L}(E,F)$ une famille d’opérateurs bornés, $T\in \mathcal{L}(E,F)$ et soit $B$ une partie totale de $E$, i.e. $E=\overline{{\rm Vect}(B)}$. Montrer que les points suivants sont équivalents:

  1. $T_n(b)\to T(b)$ pour tout $b\in B,$ et $\sup_{n\ge 1}|T_n| < \infty$.
  2. $T_n(x)\to T(x)$ quand $n\to +\infty$, pour tout $x\in E$.

Solution:

  1. Supposons (2). Comme elle est vraie sur $E,$ elle est en particulier vraie pour tout $b\in B$. D’autre part, comme pour tout $x\in E$ la suite d’éléments de $F,$ $(T_n(x))_n$ est convergente, alors elle est bornée, i.e.,\begin{align*}\sup_{n\ge 1}|T_n(x)| < \infty.\end{align*}Ainsi le oint (1) découle par le théorème de Banach-Steinhaus.
  2. Supposons (1) et on pose $M:=\sup_{n\ge 1}|T_n| < \infty$. Comme les opérateurs $T$ et $T_n$ sont linéaire et que $T_n(x)\to T(x)$ pour $x\in B$, alors $T_n(x)\to T(x)$ pour tout $x\in {\rm Vect}(B)$. Soient $\varepsilon > 0$ et $x\in E$. Par densité de ${\rm Vect}(B)$ dans $E,$ il existe $(x_n)\subset{\rm Vect}(B)$ tel que $x_n\to x$. Donc il existe $n_0\ge 1$ et $y=n_{n_0}\in {\rm Vect}(B)$ tel que $\|x-y\|\le \varepsilon$. On a alors \begin{align*}\overline{\lim}_{n\to\infty} |T_n(x)-T(x)|\le (M+|T|)\varepsilon,\qquad \forall \varepsilon>0.\end{align*}Comme $\varepsilon$ est arbitarire, alors $T_n(x)-T(x)\to 0$.

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