Sur les espaces connexes

espaces-connexes


On propose des exercices corrigés sur les espaces connexes et ensembles connexes par arcs. On travail dans le cadre des espaces vectoriel normés. Les connexes c’est notion géométrique utiles pour les démonstration de quelque théorèmes classique. Par exemple pour la preuve d’unicité globale de solution maximale pour les équations différentielles non-linéaires.

Exercice: L’ensembles suivantes sont-ils connexes par arcs ? \begin{align*}GL_n(\mathbb{R}),\qquad GL_n(\mathbb{C}).\end{align*}

Solution: On suppose que $GL_n(\mathbb{R})$ est connexe par arcs. On rapple que l’application $\det$ (déterminant) est continue. Donc $\mathbb{R}^\ast=\det(GL_n(\mathbb{R}))$ serais connexe par arcs, ce n’est pas possible. Donc $GL_n(\mathbb{R})$ n’est pas connexe par arcs.

Exercice: Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension (finie ou infinie) au moins égale à $2$.

  1. Montrer que les sphères de $E$ sont connexes par arcs
  2. Une partie $P$ de $E$ est dite étoilée par rapport à un point $a$ de $E$ si, pour tout $x\in P,$ le segment $[a,x]$ est continue dans $P$. Montrer que le complémentaire de toute partie étoilée et bornée de $E$ est connexe par arcs.

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