On propose des exercices corrigés sur le calcul du déterminant d’une matrice. En effet, les déterminants sont utiles pour vérifier si une matrice carrée est inversible ou non. Cela aidera à résoudre les systèmes linéaires. On rappelle aussi que le déterminant peut être utilisé pour tester si deux matrices sont semblables ou non. En effet, une condition nécessaire pour que deux matrices soient semblables est qu’elles doivent avoir le même déterminant.
Exercice sur le calcul du déterminant d’une matrice
Exercice: Considérons $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée d’ordre $n$. Montrer que\begin{align*} \det\left(A^2+I_n\right)\ge 0.\end{align*}
Solution: On rappelle que le déterminant d’un produit de deux matrices carrées est le produit des déterminants. Nous allons donc écrire la matrice $A^2+I_n$ comme produit de deux matrice. Nous allons utiliser le nombre complexe $i$. Donc\begin{align*}A^2+I_n=(A-i,I_n)(A+i,I_n).\end{align*}Ce qui implique que \begin{align*}\det\left(A^2+I_n\right)=\det(A-i,I_n)\det(A+i,I_n).\end{align*} Si $B$ est une matrice carrée a coefficients complexes alors on note par $\overline{B}$ la matrice obtenue par conjugaison des coefficients de $B$. De plus on a $\det(\overline{B})=\overline{\det(B)}$. En applicant cette remarque, comme $A$ est une matrice à coefficients réels, alors $\overline{A+i,I_n}=A-i,I_n$ et donc \begin{align*}\det\left(A^2+I_n\right)&=\det(\overline{A+i,I_n})\det(A+i,I_n)\cr &= \overline{\det(A+i,I_n)} \det(A+i,I_n)\cr & =|\det(A+i,I_n)|\ge 0.\end{align*}
Résolution de systèmes linéaires
Exercice: Résoudre le système suivant \begin{align*}\begin{cases}
x+2y-z=1\cr 2x+3y+2z=-1\cr 6x+8y+4z=0.
\end{cases}\end{align*}
Solution: Remarquons que si on pose \begin{align*}&A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\ 2 & 3 & 2\\6 & 8 & 4\end{pmatrix}\cr & X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\cr &b=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\;\end{align*} alors on peut écrire\begin{align*} AX=b.\end{align*} Donc, pour résoudre le système il suffit de montrer que la matrice $A$ est inversible. Ceci revient à montrer que le déterminant de matrice $A$ est non nul. En effet, on sait que le déterminant ne change pas si en remplace une colonne (une ligne) par une combinaison linéaire de autres colonnes (lignes). On note par $C_i$ les colonnes et $L_i$ les lignes pour $i:=1,2,3$. On replace le colonne $C_1$ par $C_1+C_3$ et on trouve \begin{align*}\begin{vmatrix}1 & 2 & -1\\ 2 & 3 & 2\\6 & 8 & 4\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}0 & 2 & -1\\4 & 3 & 2\\ 10 & 8 & 4\end{vmatrix}\;\cr &=2\begin{vmatrix}0 & 2 & -1\\2 & 3 & 2\\ 5 & 8 & 4\end{vmatrix}\end{align*}En replace le colonne $C_2$ par $C_2+2C_3$ on trouve: \begin{align*}\begin{vmatrix}1 & 2 & -1\\ 2 & 3 & 2\\6 & 8 & 4\end{vmatrix}&=2\begin{vmatrix}0 & 0 & -1\\2 & 7 & 2\\5 & 16 & 4\end{vmatrix}\;\cr &= 2\times (-1)\times \begin{vmatrix}2 & 7\\5 & 16\end{vmatrix}=6.\end{align*}Comme $\det(A)\neq 0,$ alors la matrice $A$ est inversible. De plus, on a \begin{align*}A^{-1}=\frac{1}{\det(A)} com(A)^\top\end{align*}Il faut ensuite calculer la co-matrice de $A$. En effet, par définition on a \begin{align*}com(A)=\begin{pmatrix} \Delta_{11} & \Delta_{12} & \Delta_{13}\\ \Delta_{21} & \Delta_{22} & \Delta_{23}\\ \Delta_{31} & \Delta_{32} & \Delta_{33}\end{pmatrix}.\end{align*} Ici $\Delta_{ij}$ est le cofacteur de l’élément $a_{ij}$ de $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le 3}$ défini par\begin{align*}\Delta_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),\end{align*}où $M_{ij}$ est la matrice obtenu en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ dans la matrice $A$. Après tout calcul fait, on trouve \begin{align*}com(A)=\begin{pmatrix} -4 & 4 & -2\\ -16 & 10 & 4\\ 7 & -4 & -1\end{pmatrix}.\end{align*} L’inverse de la matrice $A$ est:\begin{align*}A^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} -4 & -16 & 7\\ 4 & 10 & -4\\ -2 & 4 & -1\end{pmatrix}.\end{align*}
D’autre part, \begin{align*}X=A^{-1}b=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} -4 & -16 & 7\\ 4 & 10 & -4\\ -2 & 4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}.\end{align*}Donc \begin{align*}X=\begin{pmatrix}x\\y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ -1\\-1\end{pmatrix}.\end{align*}
Remarquons que le calcul du déterminant d’une matrice est très important pour résoudre les systèmes linéaires.
