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Analyse I pour SMA

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Nous proposons une sélection d’exercices corrigés d’analyse 1 pour SMA, les étudiants de la première année sciences mathématiques. En fait, on donne des exercices corrigés sur les fonctions uniformément continues, et sur les théorèmes de Heine-Borel et des accroissements finis.

Sur les fonctions uniformément continues

Des exercices sur les fonctions uniformément continues. En général cette classe de fonction est mal compris pas les étudiants. Ici on donne des arguments simple pour rendre claire cette notion. Une fonction uniformément est continue. Mais la réciproque n’est pas vrai en général. Mais si une fonction est continue sur un compact alors elle est uniformément continue sur ce compact, et même elle atteint ces bornes supérieure et inferieure, c’est le théorème de Heine. Une autre classe des fonction uniformément continue c’est les fonctions Lipschitziennes. Par exemple les fonctions sinus et arc tangente sont Lipschtzennes donc uniformément continues sur l’ensemble des nombres réels. Bien sûr  il y a aussi d autre classe de fonctions uniformément continues comme les fonction Höldériennes.  On rappelle que $f:I\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est dit $\gamma$-höldérienne ($\gamma>0$) si il existe une constante $M>0$ tel que pour tout $x,y\in I,$ on a \begin{align*} |f(x)-f(y)|\le M |x-y|^\gamma.\end{align*} Soit $\varepsilon>0$ et choisissons $\alpha:=\left(\frac{\varepsilon}{M}\right)^{\frac{1}{\gamma}}$, alors pour tout $x,y\in I$ tel que $|x-y|<\alpha$ implique $M |x-y|^\gamma<\varepsilon$ implique $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Ainsi $f$ est uniformément continue sur $I$.

Suites de Cauchy

Les suites de Cauchy sont souvent utilisées pour prouver de grands théorèmes, par exemple le théorème du point fixe de Banach-Picard. Ce chapitre est hors programme des classes préparatoires mathématiques supérieures (Math Sup). Mais c’est le cours du programme de la première année d’université pour analyse 1 SMA. Juste un exemple d’application pour démontrer que toute fonction uniformément continue sur $]a,b[$ est prolongeable par continuité en $a$ et $b$, il faut d’abord montrer que l’image d’une suite de Cauchy par une fonction uniformément continue reste également une suite de Cauchy.

Analyse 1 pour SMA: les sous-suites

Exercices corrigés sur les sous-suites et valeurs d’adhérence. On sait que si la suite mère est convergente vers un réel, alors toutes les sous-suites convergent vers ce même réel. Le théorème de Bolzano-Weierstrass dit que toute suite bornée admet une sous-suite convergente.

Analyse SMA: le théorème des valeurs intermédiaires

Des exercices corrigé sur les applications du théorème des valeurs intermédiaires. C’est un résultat utile dans la résolution des équations algébriques.

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