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Sous-suites de nombres réels

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En analyse mathématique, les sous-suites de nombres réels jouent un rôle important. En effet, le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que si une suite est seulement bornée, alors elle admet une sous-suite convergente.

Rappel sur les sous-suites

Une sous suite d’une suite réelle $(u_n)_n$ est une suite de la forme $(u_{\varphi(n)})$ avec $\varphi:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ une fonction strictement croissante. 

Examples: Si on pends $\varphi(n)=2n$ ou bien $\varphi(n)=2n+1$, alors on a deux sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. Un autre exemple $\varphi(n)=n^3,$ alors $(u_{n^3})$ et aussi une sous-suite de $(u_n)$ (il faut noter que chaque suite admet un nombre infini de sous-suites). La sous-suite et parfois appelée une suite extraite.

On rappel que si la suite $(u_n)$ converge vers $\ell\in\mathbb{R}$ alors toutes les sous-suites convergent aussi vers $\ell$. Inversement, si toutes les sous-suites d’une suite converge vers un seule réel, alors la suite mère converge aussi vers cette valeur.

Et donc pour monter qu’une suite ne converge pas, il suffit de chercher deux sous-suites qui converges vers deux limites différentes. Par exemple la suite $u_n=(-1)^n$ ne converge pas car les sous-suites $u_{2n}=1\to 1$ et $u_{2n+1}=-1\to -1$ quand $n\to +\infty$.https://www.lesmath.com/2021/08/suites-de-nombres-reels.html

Exercices sur les sous suites de nombres réels

Exercice: Soit $(x_n)_n$ une suite de de nombres réels qui est croissante et admet une sous suite convergente. Montrer que la suite $(x_n)_n$ est convergente.

Solution: Normalement pour qu’une suite soit convergente vers un réel $\ell$ il faut et suffit que  toutes les sous-suites de la suite convergent vers le même $\ell$. Mais dans cet exercice nous allons voir que si la suite est monotone, par exemple croissante, il suffit qu’une sous-suite soit convergente pour que la suite mère converge aussi. En effet, il faut note tous d’abord qu’une suite croissante elle converge vers un réel $\ell$ ou bien vers $+\infty$. Par hypothèse, il existe $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ et il existe $\ell\in\mathbb{R}$ tel que $x_{\varphi(n)}\to \ell$ quand $n\to+\infty$. Si $(x_n)_n$ converge vers $+\infty$ alors la sous suite $ (x_{\varphi(n)})_n$  convergente aussi vers $+\infty$, donc c’est absurde. Ainsi $(x_n)_n$ est convergente vers la même la suite que sa suite extraite.

Exercice: Soit $(\omega_n)_n$ une suite numérique telle que \begin{align*} 0\le \omega_{n+p}\le \frac{n+p}{np},\qquad \forall (n,p)\in(\mathbb{N}^ast)^2.\end{align*} Montrer que $(\omega_n)_n$ est convergente. 

Solution: Ici nous allons utiliser le résultat pratique suivant: pourque la suite  $(\omega_n)_n$ soit convergente il faut et il suffit que les deux sous-suites $(\omega_{2n})_n$ et $(\omega_{2n+})_n$ convergent vers une même limite. En effet, on a on prend $p=n$ dans l’inégalité en haut, on trouve \begin{align*} 0\le \omega_{2n}\le \frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}.\end{align*} Par le principe des gendarmes on a $\omega_{2n}\to 0$ quand $n\to+\infty$. De même si on prend $p=n+1$ on trouve $0\le \omega_{2n+1}\le \frac{2n+1}{n(n+1)}\le \frac{2}{n}$. Ainsi $\omega_{2n+1}\to 0$.

Exercice: Soit $(u_n)$ une suite reelle telle que la suite des valeurs absolues $(|u_n|)_n$ est décroissante. 
  1. Justifier que la suite $(v_n)_n$ definie par $v_n=|u_n|$, est convergente vers un reel $a\in [0,+\infty[$.
  2. Montrer que la suite $(u_n)_n$ admet une sous suite $(u_\varphi(n))_n$ qui converge vers un reel $\ell$ tel que $|\ell|=a$.

Solution:

1- On pose $v_n=|u_n|\ge 0$ pour tout $n$ (donc $(v_n)_n$ est minoreé) par $0$. Or par hypthese  $(v_n)_n$ est décroissante, donc elle est convergente. Ainsi il existe $a\in \mathbb{R}$ tel que $v_n\to a$ quand $n\to+\infty$.

2-  En particulier, $(v_n)_n$ est une suite bornée, ce qui implique que la suite $(u_n)_n$ est bornée. Donc le théorème de Bolzano-Weierstrass nous dit qu’il existe une fonction $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante et $\ell\in\mathbb{R}$ tel que $u_{\varphi(n)}\to \ell$ quand $n\to+\infty$. Mais $(v_{\varphi(n)})_n$ est une sous-suite de $(v_n)_n$, donc $(v_{\varphi(n)})_n\to a$ quand $n\to+\infty$. ce qui montre que $|\ell|=a$.

Exercice: Soit $(x_n)_n$ une suite de nombres réels telle que la suite $(|x_n|)_n$ ne tende pas vers $+\infty$. Montrer que la suite $(x_n)_n$ admet au moins une valeur d’adhérence.

Solution: Ici il ne faut surtout pas tomber dans le piège et conclure que la suite est bornée!! Donc  $(|x_n|)_n$ ne tende pas vers $+\infty$ signifie que il existe un réel $A>0$ tel pour tout $N\in\mathbb{N}$ il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $n>N$ et $|x_{n}|\le A$. Comme $N$ est quelconque, on peut alors imposer a $N$ des valeurs. Par suite, pour $N=1,$ il existe $n_1\in \mathbb{N}$ tel que $n_1>1$ et $|x_{n_1}\le A$. Pour $N=n_1,$ il existe $n_2\in \mathbb{N}$ tel que $n_2>n_1$ et $|x_{n_2}|\le A$. Pour $N=n_2$ il existe $n_3\in\mathbb{N}$ tel que $n_3>n_2$ et $|x_{n_3}|\le A$, ainsi de suite, pour tout $k,$ on pose $N=n_k$, il existe $n_{k+1}\in\mathbb{N}$ tel que $n_{k+1}>n_k$ et $|x_{n_{k+1}}|\le A$. On a alors construit une application $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tel que $k\mapsto \varphi(k)=n_k$ tel que $|x_{\varphi(k)}|\le A$ pour tout $k$. On a donc montrer que la suite $(x_n)_n$ admet une sous-suite $w_k=x_{\varphi(k)}$ bornée. Comme la suite $(w_k)_k$ est bornée donc d’apres le théorème de Bolzano-Weierstrass il existe $\psi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante et il existe $\ell\in\mathbb{R}$ tels que $w_{\psi(k)}\to \ell$ \quand $k\to+\infty$. Maintenant on a \begin{align*} w_{\psi(k)}=x_{\varphi(\psi(k))}=x_{(\varphi\circ\psi)(k)}.\end{align*}D’autre part, la fonction $\xi=\varphi\circ\psi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ est strictement croissante et $x_{\xi(k)}\to \ell$. Donc $(x_n)_n$ admet une sous-suite convergente vers $\ell$. Ainsi $\ell$ est une valeur d’adhérence de la suite $(x_n)_n$.

Problème: Soit $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ une fonction uniformément continue sur $\mathbb{R}^+$. On suppose qu’il existe une suite $(x_n)$ strictement croissante de réels positifs telle que $x_n\to +\infty$ et $x_{n+1}-x_n\to 0$ quand $n\to +\infty$.

  1. Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels telle que $u_n\to +\infty$ and $n\to +\infty,$ et que la suite $(f(u_n))$ admette une limite $b$. Montrer que $b$ est une valeur d’adhérence de la suite $(f(x_n))$ (c’est-à-dire $b$ est une limite d’une sous-suite de $(f(x_n))$).
  2. Un nombre réel $b$ est dit valeur d’adhérence de $f$ au point $+\infty$ si’il existe une suite de réels $(v_n)$ vérifiant $v_n\to +\infty$ et $f(v_n)\to b$ quand $n\to +\infty$. Montrer que les valeurs d’adhérence de la suite $(f(x_n)$ sont exactement valeurs d’adhérence de $f$ au point $+\infty$.
  3. Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue $T$-périodique ($T>0$). Soit $(x_n)$ une suite strictement croissante de réels positifs telle que $x_n\to +\infty$ et $x_{n+1}-x_n\to 0$ quand $n\to +\infty$. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite $(f(x_n)$ est égale à l’ensemble $f(\mathbb{R})$.
  4. Applications: Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence des suites terme général: $\cos(\sqrt{n}),\;\sin(\sqrt{n}),\;e^{i \sqrt{n}}$ et $n^{i\alpha}$ ($\alpha\in\mathbb{R}$).

Solution:

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