Dans cet article, nous allons explorer en profondeur les morphismes de groupe en présentant une série d’exercices conçus pour vous aider à maîtriser ce sujet essentiel.
Les morphismes de groupe constituent un concept central en mathématiques, en particulier dans la théorie des groupes. Ils permettent de comprendre comment les groupes sont reliés les uns aux autres et comment les structures algébriques interagissent.
Définition d’un morphisme de groupe
Avant de plonger dans les exercices, rappelons brièvement ce qu’est un morphisme de groupe. Un morphisme de groupe est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus precisement:
Soient $(G,\cdot)$ et $(G’,\ast)$ deux groupes et $f: G\to G’$. Alors $f$ est un morphisme de groupe si pour tout $a,b\in G$ on a $$ f(a\cdot b)=f(a)\ast f(b).$$
Les morphismes de groupe occupent une grande part dans les exercices sur les groupes. De plus si $e$ et $e’$ sont les éléments neutres de $G$ et $G’$, respectivement, alors on a les résultats suivants sur un morphisme de groupe $f : G\to G’$:
- $f(e)=e’$.
- Pour tout sous groupe $H$ de $G$ l’image directe de $H$ par $f$, $$ f(H)=\{f(a): a\in H\},$$ est un sous groupe de $G’$.
- Si $H’$ est un sous groupe de $G’$, alors l’image inverse de $H’$, $$ f^{-1}(H’)=\{ a\in G: f(a)\in H’\},$$ est un sous groupe de $G$.
Isomorphismes de groupe
Soit $f:G\to G’$ un morphisme de groupe. L’ensemble suivante ${\rm Im}(f)=f(G)$ est appelé l’image du morphisme $f$, c’est un sous groupe de $G’$. De plus $f$ est surjective si et seulement si ${\rm Im}(f)=G’$.
D’autre part, l’ensemble $$ \ker(f)=\{a\in G: f(a)=e’\}$$ est appelé le noyau de $f$, c’est un sous groupe de $G$. De plus, $f$ est injective si et seulement si $\ker(f)=\{e\}$.
Un isomorphisme de groupe et un morphisme de groupe $f:G\to G’$ qui est bijective. Dans ce cas, on dit que les groupes $G$ et $G’$ sont isomorphe et on ecrit $G \simeq G’$. De plus si $G=G’$ alors tout ismorphisme de $G$ dans $G$ est appelé automorphisme.
Exercices sur les morphismes de groupe
Exercice: ⭐⭐☆☆☆ Montrer que $\mathbb{R}$ muni de la loi $\ast:(x,y)\mapsto x\ast y=(x^3+y^3)^{1/3}$ est un groupe.
Ici nous allons introduire une méthode simple (sans passer par les conditions de la définition du groupe) pour démontrer que $(\mathbb{R},\ast)$ est un groupe. En effet, il suffit de montrer que $(\mathbb{R},\ast)$ est en bijection avec un autre groupe classique. Soit l’application\begin{align*} f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad x\mapsto f(x)=x^{1/3}.\end{align*}Remarquons que $f$ est bijective et que $f(x+y)=(x+y)^{1/3}=x^{1/3}\ast y^{1/3}=f(x)\ast f(y)$. Ainsi $f$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ sur $(\mathbb{R},\ast)$. Il est connu que $(\mathbb{R},+)$ est un groupe, alors $(\mathbb{R},\ast)$ est aussi un groupe. Donc l’élément neutre de $(\mathbb{R},\ast)$ est $0$ et le symétrique de $x$ est $-x$.
Exercice: ⭐⭐☆☆☆ Soit $G$ un groupe. Pour tout $a\in G$, on associé une application $\varphi_a:G\to G$ définie par $\varphi_a(x)=axa^{-1}$. On note par $({\rm Aut}(G),\circ)$ le groupe des automorphismes de $G$. Montrer que l’application\begin{align*}\Phi: G\to {\rm Aut}(G),\quad \Phi(a)=\varphi_a\end{align*}est un morphisme de groupe. Quel est le noyau de $\Phi$.
Premièrement, montrons que l’application $\Phi$ est bien définie. En effet, il faut montrer que pour chaque $a\in G,$ $\varphi_a\in {\rm Aut}(G)$. Pour tout $x\in G,$\begin{align*}\varphi_a \circ \varphi_{a^{-1}} (x)&=a \left(\varphi_{a^{-1}} (x)\right) a^{-1}\cr &= a a^{-1}x \left(a^{-1}\right)^{-1}a^{-1}\cr &= x.\end{align*}Donc $\varphi_a \circ \varphi_{a^{-1}}=Id_G$. De même on montrer que $\varphi_{a^{-1}} \circ \varphi_{a}=Id_G$. Ainsi $\varphi_a$ est bijective et que sa bijection réciproque est $\varphi_{a^{-1}}$. D’autre part, pour tout $x,y\in G,$ on a\begin{align*}\varphi_a(xy)&=a(xy)a^{-1}=axa^{-1}a ya^{-1}\cr&=(axa^{-1})(a ya^{-1})\cr &= \varphi_a(x)\varphi_a(y).\end{align*}Ceci implique que $\varphi_a$ est un automorphisme de $G$.
Pour tout $a,b\in G$ et $x\in G$, on a \begin{align*}[\Phi(ab)](x)&=\varphi_{ab}(x)=(ab)x(ab)^{-1}\cr &= abx^{-1}b^{-1}a^{-1}\cr &= a(bx^{-1}b^{-1})a^{-1}=a(\varphi_b(x))a^{-1}\cr &= \varphi_a (\varphi_b(x)).\end{align*}Donc $\Phi(ab)=\Phi(a)\circ \Phi(b)$. Ainsi $\Phi$ est un morphisme de groupe.
Le noyau de $\Phi$ est par définition\begin{align*}\ker\Phi&=\{a\in G: \Phi(a)=Id_G\}\cr &= \{a\in G: \varphi_a=Id_G\}.\end{align*}Soit $a\in \ker\Phi,$ alors pour tout $x\in G$ on a $\varphi_a(x)=x,$ ce qui signifie que $ax=xa$. D’où le noyau de $\Phi$ est constitué des éléments de $G$ qui commutent avec tous les éléments de $G$.
