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Morphismes de groupe, exercices

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On propose des exercices sur les morphismes de groupe, une partie de la théorie des groupes. En effet, la structure du groupe est la partie centrale de l’algèbre générale et il est donc nécessaire de lui accorder plus d’attention.

Exercices sur les morphismes de groupe

Exercice: Montrer que $\mathbb{R}$ muni de la loi $\ast:(x,y)\mapsto x\ast y=(x^3+y^3)^{1/3}$ est un groupe.

Solution: Ici nous allons introduire une méthode simple (sans passer par les conditions de la définition du groupe) pour démontrer que $(\mathbb{R},\ast)$ est un groupe. En effet, il suffit de montrer que $(\mathbb{R},\ast)$ est en bijection avec un autre groupe classique. Soit l’application\begin{align*} f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad x\mapsto f(x)=x^{1/3}.\end{align*}Remarquons que $f$ est bijective et que $f(x+y)=(x+y)^{1/3}=x^{1/3}\ast y^{1/3}=f(x)\ast f(y)$. Ainsi $f$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ sur $(\mathbb{R},\ast)$. Il est connu que $(\mathbb{R},+)$ est un groupe, alors $(\mathbb{R},\ast)$ est aussi un groupe. Donc l’élément neutre de $(\mathbb{R},\ast)$ est $0$ et le symétrique de $x$ est $-x$.

Exercice: Soit $G$ un groupe. Pour tout $a\in G$, on associé une application $\varphi_a:G\to G$ définie par $\varphi_a(x)=axa^{-1}$. On note par $({\rm Aut}(G),\circ)$ le groupe des automorphismes de $G$. Montrer que l’application\begin{align*}\Phi: G\to {\rm Aut}(G),\quad \Phi(a)=\varphi_a\end{align*}est un morphisme de groupe. Quel est le noyau de $\Phi$.

Solution: Premièrement, montrons que l’application $\Phi$ est bien définie. En effet, il faut montrer que pour chaque $a\in G,$ $\varphi_a\in {\rm Aut}(G)$. Pour tout $x\in G,$\begin{align*}\varphi_a \circ \varphi_{a^{-1}} (x)&=a \left(\varphi_{a^{-1}} (x)\right) a^{-1}\cr &= a a^{-1}x \left(a^{-1}\right)^{-1}a^{-1}\cr &= x.\end{align*}Donc $\varphi_a \circ \varphi_{a^{-1}}=Id_G$. De même on montrer que $\varphi_{a^{-1}} \circ \varphi_{a}=Id_G$. Ainsi $\varphi_a$ est bijective et que sa bijection réciproque est $\varphi_{a^{-1}}$. D’autre part, pour tout $x,y\in G,$ on a\begin{align*}\varphi_a(xy)&=a(xy)a^{-1}=axa^{-1}a ya^{-1}\cr&=(axa^{-1})(a ya^{-1})\cr &= \varphi_a(x)\varphi_a(y).\end{align*}Ceci implique que $\varphi_a$ est un automorphisme de $G$.

Pour tout $a,b\in G$ et $x\in G$, on a \begin{align*}[\Phi(ab)](x)&=\varphi_{ab}(x)=(ab)x(ab)^{-1}\cr &= abx^{-1}b^{-1}a^{-1}\cr &= a(bx^{-1}b^{-1})a^{-1}=a(\varphi_b(x))a^{-1}\cr &= \varphi_a (\varphi_b(x)).\end{align*}Donc $\Phi(ab)=\Phi(a)\circ \Phi(b)$. Ainsi $\Phi$ est un morphisme de groupe.

Le noyau de $\Phi$ est par définition\begin{align*}\ker\Phi&=\{a\in G: \Phi(a)=Id_G\}\cr &= \{a\in G: \varphi_a=Id_G\}.\end{align*}Soit $a\in \ker\Phi,$ alors pour tout $x\in G$ on a $\varphi_a(x)=x,$ ce qui signifie que $ax=xa$. D’où le noyau de $\Phi$ est constitué des éléments de $G$ qui commutent avec tous les éléments de $G$.

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