Dans cet article, nous explorerons les bases de la logique en mettant en lumière les concepts clés qui la composent. La logique, en tant que discipline fondamentale de la pensée humaine, nous permet de raisonner de manière cohérente et rigoureuse. Elle constitue le socle sur lequel se construisent les raisonnements, les argumentations et les démonstrations.
Notion de Quantificateurs sont l’essence des bases de la logique
Les quantificateurs sont des éléments cruciaux de la logique qui permettent de décrire et de quantifier les propriétés d’objets ou d’éléments d’un ensemble. On distingue deux principaux types de quantificateurs : les quantificateurs universels ($\forall$) et les quantificateurs existentiels ($\exists$).
- Le quantificateur universel ($\forall$) est utilisé pour décrire une propriété qui est vraie pour tous les éléments d’un ensemble donné. Par exemple, $\forall x\in \mathbb{N}$$x>0$ signifie que pour tout nombre naturel $x$, $x$ est strictement supérieur à zéro.
- Le quantificateur existentiel ($\exists$) est utilisé pour affirmer l’existence d’au moins un élément dans un ensemble qui satisfait une certaine propriété. Par exemple, $\exists x\in\mathbb{R}$m $x^2=4$ signifie qu’il existe au moins un nombre réel $x$ dont le carré est égal à 4.
Exemple : Soit l’ensemble $S$ des étudiants inscrits dans un cours. Le prédicat $P(x)$ est défini comme suit : « $x$ a obtenu une note supérieure ou égale à 18/20 dans l’examen final. » En utilisant les quantificateurs, nous pouvons exprimer des déclarations sur cet ensemble.
- $\forall x \in S$, $P(x)$ : « Tous les étudiants du cours ont obtenu une note supérieure ou égale à 18/20 dans l’examen final. »
- $\exists x \in S$, $P(x)$ : « Il existe au moins un étudiant du cours qui a obtenu une note supérieure ou égale à 18/20 dans l’examen final. »
Notion d’Implication, Contraposition et Équivalence
L’implication est une relation fondamentale en logique qui lie deux propositions, généralement notées $p$ (prémisse) et $q$ (conclusion). On utilise le symbole $\Longrightarrow$ pour représenter l’implication.
Si $p$ impliaue $q$ ($p\Longrightarrow q$), cela signifie que lorsque $p$ est vraie, $q$ doit également être vraie.
- La contraposition est une forme équivalente de l’implication qui s’énonce ainsi : si non($Q$) est vraie, alors non($P$) doit être vraie. En d’autres termes, pour montrer que $P\Longrightarrow Q$ on peut montrer que ${\rm non}(Q) \Longrightarrow {\rm non}(P)$.
- L’équivalence $\Longleftrightarrow$ est une relation qui exprime que deux propositions sont vraies dans les mêmes situations. Si $P\Longleftrightarrow Q$, cela signifie que $P$ est vraie si et seulement si $Q$ est vraie.
Négation d’une implication
La négation d’une implication « P implique Q » est en effet « P et non Q ». Cela signifie que si l’implication « P implique Q » est vraie, alors sa négation « P et non Q » est fausse, et vice versa.
Implication : Si un étudiant obtient une note supérieure à 90 % dans l’examen final, alors il réussira le cours.
Négation de l’implication : Un étudiant obtient une note supérieure à 90 % dans l’examen final, mais il ne réussit pas le cours.
Dans cet exemple, l’implication initiale affirme qu’obtenir une note élevée garantit la réussite du cours. Cependant, la négation de cette implication montre qu’il est possible qu’un étudiant obtienne une excellente note dans l’examen final, mais ne réussisse pas le cours pour d’autres raisons (peut-être en raison d’autres évaluations, devoir, participation, etc.). Cela illustre comment la négation d’une implication peut conduire à des situations où la conclusion de l’implication n’est pas atteinte malgré la véracité de la prémisse.
En utilisant les quantificateurs universels, on peut exprimer la négation de la proposition « $|x_n|$ ne tend pas vers $+\infty$ quand $n\to+\infty$ » de la manière suivante :
La négation peut être exprimée comme : « Il existe un nombre réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $N$, il existe un indice $n \geq N$ pour lequel $|x_n| \leq M$. »
En d’autres termes, pour réfuter la notion que la suite $|x_n|$ tend vers l’infini, la négation affirme qu’il est possible de trouver un nombre réel $M$ tel que, peu importe à quel point on regarde loin dans la suite (représenté par l’entier $N$), il existe toujours un élément $x_n$ dont la valeur absolue ne dépasse pas $M$. Cela implique que la suite n’augmente pas indéfiniment vers l’infini et qu’il existe une borne supérieure pour les valeurs absolues des termes de la suite.
Modes de Raisonnement
Il existe plusieurs modes de raisonnement qui nous aident à déduire des conclusions à partir de propositions données :
- Le raisonnement par disjonction des cas consiste à envisager toutes les situations possibles et à prouver que la conclusion est vraie dans chacune d’elles.
- Le raisonnement par contraposition, comme mentionné précédemment, consiste à prouver la contraposée de l’implication pour déduire la validité de l’implication originale.
- Le raisonnement par l’absurde implique de supposer temporairement que la conclusion est fausse, puis de montrer que cela conduit à une contradiction, ce qui prouve que la conclusion est en fait vraie.
- Le raisonnement par analyse-synthèse consiste à diviser un problème en parties plus petites (analyse) pour mieux le comprendre, puis à assembler les conclusions des parties pour former la conclusion globale (synthèse).
Raisonnement par Récurrence est l’une des bases de la logique
La récurrence est une méthode puissante pour démontrer des propriétés pour une infinité de cas, souvent utilisée dans le calcul algébrique.
- La récurrence simple consiste à prouver qu’une propriété est vraie pour un cas de base, puis à montrer que si elle est vraie pour un certain cas, elle l’est également pour le cas suivant.
- La récurrence double est une extension de la récurrence simple, où il faut montrer que si une propriété est vraie pour deux cas de base, elle est vraie pour le cas suivant.
- La récurrence forte est une forme plus puissante de récurrence où l’on suppose que la propriété est vraie pour tous les cas jusqu’à un certain point, puis on prouve qu’elle est vraie pour le cas suivant.
Pour bien comprendre les bases de la logique mathematiques, il est essentiel de pratiquer plusieurs exercices sur la logique.
En conclusion, les bases de la logique sont essentiels pour une pensée claire, rationnelle et structurée. Les notions de quantificateurs, d’implication, de contraposition, d’équivalence, de modes de raisonnement et de raisonnement par récurrence constituent les fondements sur lesquels repose toute construction logique. En comprenant ces concepts et en les appliquant de manière appropriée, nous sommes en mesure de construire des arguments solides, de déduire des conclusions justes et d’explorer les profondeurs de la pensée humaine.
