La division euclidienne des polynômes est un concept fondamental en mathématiques, principalement dans le domaine de l’algèbre. Elle permet de diviser un polynôme par un autre polynôme et d’obtenir un quotient ainsi qu’un reste, similaires à la division entière des nombres. Cette méthode joue un rôle crucial dans la simplification, la factorisation et la résolution d’équations polynomiales complexes.
Il est commode d’avoir quelques notions sur l’anneau des polynômes.
Définition Mathématique de la Division Euclidienne des Polynômes
Soient deux polynômes $A(x)$ et $B(x)$ avec $B(x)$ différent de zéro. La division euclidienne des polynômes consiste à trouver deux autres polynômes, $Q(x)$ (quotient) et $R(x)$ (reste), tels que : $$ A(x)=B(x)Q(x)+R(x),$$ où le degré de $R(x)$ est strictement inférieur au degré de $B(x)$. Autrement dit, le reste $R(x)$ est de degré inférieur à celui du diviseur $B(x)$.
Exemple de Division d’un Polynôme de Degré 5 par un Polynôme de Degré 3
Considérons l’exemple suivant :
Étape 1 : Pour commencer, nous divisons le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur. Dans cet exemple, nous divisons $3X^5$ par $X^3$, ce qui donne $3X^2$. Nous plaçons $3X^2$ dans le quotient $Q(X)$ et effectuons la multiplication $$B(X)\cdot (3X^2)=3X^5-6X^3+9X^2.$$ Puis soustrayons le résultat de $$A(X)-B(X)\cdot (3X^2)=2X^4-X^3-3X^2+8X-10.$$
Étape 2 : Maintenant, nous répétons le processus
Nous divisons $2X^4$ par $X^3$, ce qui donne $2X$. Nous plaçons $2X$ dans le quotient deja obtenu dans l’etape 1, ce qui donne $Q(X)=3X^2+2X$ et effectuons la multiplication $$B(X)\cdot (2X)=2X^4-4X^2+6X.$$ Puis soustrayons le résultat de $$R_1(X)-B(X)\cdot (2X)=-X^3+X^2+2X-10.$$
Étape 3 : Encore une fois, nous répétons le processus
La divsion de $-X^3$ par $X^3$ donne -1. Nous plaçons $2X$ dans le quotient deja obtenu dans l’etape 2, ce qui donne $Q(X)=3X^2+2X-1$ et effectuons la multiplication $$B(X)\cdot (-1)=-X^3+2X-3.$$ Puis soustrayons $$R(X):=R_2(X)-B(X)\cdot (-1)=X^2-7.$$ On arrête la division car $\deg(R)<\deg(B)$. Ainsi la division euclidienne des polynômes de $A(X)$ et $B(X)$ donne $$ A(X)=B(X)(3X^2+2X-1)+X^2-7.$$
