En mathématiques, l’anneau des polynômes est un ensemble de polynômes à coefficients dans un certain corps (souvent les nombres réels, les nombres complexes ou d’autres corps). Cet ensemble forme une structure algébrique appelée un anneau, car il satisfait aux propriétés essentielles d’addition et de multiplication.
Anneau des Polynômes : Concepts et Exercices
Dans cette section, nous allons non seulement découvrir les propriétés remarquables de cet anneau, mais également explorer la notion de séries infinies qui s’annulent à partir d’un certain rang, et comment cela donne naissance au concept de degré des polynômes.
Définition d’un polynôme
Soit $(\mathbb{K}+,\cdot)$ un corps. Un polynôme $P$ a coefficients dans $\mathbb{K}$ est une suite infinie d’éléments de $\mathbb{K}$ qui s’annule a partir d’un certain rang. Autrement dit $P=(a_i)_{i\in \mathbb{N}}$ tel que $a_i=0$ pour tout $i\ge n+1$, pour un certain entier $n\in\mathbb{N}$, donc $$ P=(a_0,a_1,\cdots,a_n,0,\cdots,0,\cdots).$$ Le plus petit entier $n$ tel que $a_n\neq 0$ et appelé le degré de $P$ et se note $\deg(P)$.
Donnons une autre représentations mathématiques des polynomes. Si on pose \begin{align*} &1=(1,0,0,\cdots),\quad X=(0,1,0,\cdots)\cr & X^i=(0,0,\cdots,0,1,0,\cdots)\end{align*} (le 1 est placé dans la (1+i)-ième place) alors un polynôme $P$ peut s’écrire comme: $$ P=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_n X^n,$$ avec $X$ le symbole appelé « indéterminée du polynôme ».
Définition de l’anneau des polynômes
L’ensemble des polynômes a coefficient dans un corps $\mathbb{K}$ sera noté $\mathbb{K}[X]$. On définit deux opérations sur $\mathbb{K}[X]$ comme suit: Soient $P,Q\in \mathbb{K}[X]$, avec $P=a_n X^n+\cdots+a_1 X+a_0$ et $Q=b_n X^m+\cdots+b_1 X+b_0$, et $m>n$. On definie la somme des polynômes $P$ et $Q$ est un polynôme par: $$ P+Q=b_m X^m+\cdots+b_{n+1}X^{n+1}+(a_n+b_n)X^n+\cdots+(a_1+b_1)X+a_0+b_0.$$ Le Produit de $P$ et $Q$ est un polynôme de la forme $$ PQ=c_{n+m}X^{n+m}+\cdots+c_1 X+c_0,$$ avec $$ \forall k,\;0\le k\le n+m,\quad c_k=\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}.$$ Ici on remarque que \begin{align*}& \deg(P+Q)=\max(\deg(P),\deg(Q))\cr & \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q).\end{align*}
Muni de l’addition et du produit $\mathbb{K}[X]$ est un anneau commutatif. De plus $\mathbb{K}[X]$ est un anneau intègre: si $P,Q\in \mathbb{K}[X]$ tel que $PQ=0$ alors $P=0$ ou $Q=0$.
$\mathbb{K}[X]$ n’est pas un corps.
Pour justifier, soit $P(X)=X+1$. Si il existe $Q(X)=a_nX^n+\cdots+a_1 X+a_0$ tel que $P(X)Q(X)=1$. Alors on a $$ a_n X^{n+1}+(a_n+a_{n-1})X^n+\cdots+(a_1+a_0)X+a_0=1$$ Ceci implique que $a_n=0$, $a_n+a_{n-1}=\cdots=a_1+a_0=0$ et $a_0=1$. Ceci est absurd car dans ce cas on a $Q(X)=0$. Donc les seuls éléments inversibles pour le produit de $\mathbb{K}[X]$ sont sont les polynômes constants non nuls.
Théorème de Weierstrass
Les polynômes sont également pertinents en analyse. En effet, le théorème de Weierstrass énonce que toute fonction continue définie sur un intervalle fermé et borné peut être approximée avec une précision arbitraire en utilisant une séquence de polynômes.
