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Trigonalisation des matrices

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On propose des exercices corrigés sur la trigonalisation des matrices. Trigonaliser une matrice c’est la rendre triangulaire supérieur ou inferieur. C’est la réduction des matrices.  En fait nous allons donner des application au calcul de l’exponentielle d’une matrice carrée. Cela aide à facilement résoudre les systèmes linéaires en dimension finie.

Le calcul matriciel est la parties la plus importante dans le cours d’algèbre linéaire pour les classes préparatoires et les deux premières années de l’Université.

La trigonalisation des matrices: résume de cours et exercices

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie ou nulle

Endomorphisme trigonalisable

Définition: Un endomorphisme de l’espace $E$ est dit trigonalisable s’il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est triangulaire. Une telle base est appelée base de trigonalisation de cet endomorphisme.

Notez que toute endomorphisme diagonalisable est également trigonalisable. D’autre part, si l’endomorphisme est trigonalisable, alors le premier vecteur d’une base de trigonalisation est une vecteur propre de celui-ci.

Une matrice $A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$ est dite trigonalisable si l’endomorphisme de $\mathbb{K}^n$ qui lui est canoniquement associé est trigonalisable. Cela implique que la matrice $A$ est semblable a une matrice triangulaire.

Théorème: Une matrice $A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$. De plus, les coefficients diagonaux d’une matrice triangulaire semblable a $A$ sont ses valeurs propres comptées avec multiplicité.

Exercices d’applications 

Exercice: Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ de rang $1$. Montrer que la trace de $A,$ ${\rm tr}(A),$ est une valeur propre de $A$. et que $A$ est semblable à une matrice triangulaire.

Solution: Comme $r(A)=1,$ alors d’après le théorème du rang on a $\dim(\ker(A))=n-1$. Mais $\ker(A)$ c’est l’espace propre associé à la valeur propre de $A$ égale à $0$ de multiplicités $n-1$.

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