Exercices corrigés sur la trigonalisation des matrices

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On propose des exercices corrigés sur la trigonalisation des matrices. Trigonaliser une matrice c'est la rendre triangulaire supérieur ou inferieur. C'est la réduction des matrices.  En fait nous allons donner des application au calcul de l’exponentielle d’une matrice carrée. Cela aide à facilement résoudre les systèmes linéaires en dimension finie.

Le calcul matriciel est la parties la plus importante dans le cours d'algèbre linéaire pour les classes préparatoires et les deux premières années de l'Université.

Réduction des matrices: trigonalisation

Exercice: Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ de rang $1$. Montrer que la trace de $A,$ ${\rm tr}(A),$ est une valeur propre de $A$. et que $A$ est semblable à une matrice triangulaire.

Solution: Comme $r(A)=1,$ alors d’après le théorème du rang on a $\dim(\ker(A))=n-1$. Mais $\ker(A)$ c’est l’espace propre associé à la valeur propre de $A$ égale à $0$ de multiplicités $n-1$.

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