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Trace de matrices

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On propose des exercices corrigés sur la trace de matrices. En effet, la trace jeux un rôle important dans le calcul matriciel surtout si on veux démontrer des propriétés de matrices comme par exemple les matrice semblables.

Définition et propriété de la trace des matrices carrées

Par définition la trace d’une matrice carrée $A$ de coefficients $a_{ij}$ avec $1\le i,j\le n$ est la somme de ses coefficients diagonaux. C’est a dire $a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$.

La trace de la matrice carrée $A$ est notée $$ {\rm tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}. $$

D’autre part, la trace d’un endomorphisme en dimension finie et égale à la trace de la matrice qui le représente.

Si $A$ et $B$ sont deux matrices carrée alors $$ {\rm tr}(AB)={\rm tr}(BA). $$

Donc Si $A$ et $B$ sont semblables, autrement dit $B=S^{-1}AS$ avec $S$ inversible, alors  tr(A)=tr(B). Ceci implique que  la trace d’un opérateur $v$ est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité.

Exercices d’applications

Exercice: Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $nge 1$ et soit $p$ un projecteur de $E$. Montrer que trace de $p$ coïncide avec le rang de $p$, c’est à dire: $$ {\rm tr}(p)={\rm rg}(p). $$

Solution: Comme $p$ est un projecteur alors on a la somme direct suivante $$ E={\rm Ker}(p)\oplus {\rm Im}(p). $$ De plus $p$ est la projection sur ${\rm Im}(p)$ parallèlement à ${\rm Ker}(p)$. On note par $r:=\dim({\rm Im}(p))$ et donc $\dim({\rm Ker}(p))=n-r$. Soit $B_r=(e_1,e_2,\cdots,e_r)$ une base de ${\rm Im}(p)$ et $B_{n-r}=(e_{r+1},e_{r+2},\cdots,e_n)$ une base de ${\rm Ker}(p)$. Donc $B=B_r\cup B_{n-r}=(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ est une base de $E$. Comme $p\circ p=p,$ alors les vecteurs de ${\rm Im}(p)$ sont invariants par $p$. D’autre part, les vecteurs ${\rm Ker}(p)$ sont annulés par $p$. Donc la matrice de $p$ dans la base $B$ s’écrit \begin{align*}M={\rm mat}_B(u)=\begin{pmatrix} I_r& 0_{r\times (n-r)}\\ 0_{(n-r)\times r}& 0_{n-r}\end{pmatrix}.\end{align*}Il est claire maintenant que\begin{align*}{\rm tr}(p)={\rm tr}(M)=r,\quad\text{et}\quad {\rm rg}(p)={\rm rg}(M)=r.\end{align*}

Exercice: Soit $E$ un $\mathbb{K}$-e.v. de dimension finie $n$. Soient $f\in GL(E)$ (endomorphisme inversible) et $g\in \mathcal{L}(E)$ tel ${\rm rg}(g)=1$.

  1. Montrer que $f+g$ est un automorphisme si et seulement si ${\rm tr}(g\circ f^{-1})\neq -1$.
  2. Calculer $(f+g)^{-1}$.

Solution:

  1. On pose $h=g\circ f^{-1}$ Comme $h(E)\subset g(E)$ et que ${\rm rg}(g)=1$, alors ${\rm rg}(h)=1$. On considère une base $\mathcal{B}$ associée à la décomposition $E=H\oplus\ker(h)$, où $H$ est un supplémentaire de $\ker(h)$ avec $\dim(H)=1$. Donc la matrice de l’endomorphisme $h$ dans la base $\mathcal{B}$ est donnée par \begin{align*}{\rm mat}_{\mathcal{B}}(h)=\begin{pmatrix} x_1 &\\ \vdots & 0_{n\times (n-1)}\\ x_n & \end{pmatrix}.\end{align*}Donc ${\rm tr}(h)=x_1$. D’autre part, on peut écrire \begin{align*}f+g=f+g\circ f^{-1}\circ f=f+h\circ f= (Id+h)\circ f.\end{align*}Ceci montre que $\det(f+g)=\det ((Id+h))\times \det(f)$. Comme $\det(f)\neq 0,$ alors $f+g$ est inversible si et seulement si $\det(f+g)\neq 0$ si et seulement si $\det ((Id+h))\neq 0$. D’après l’expression de la matrice de $h$ en haut, on a $\det ((Id+h))=1+x_1$. Ainsi $f+g$ est inversible si et seulement si ${\rm tr}(h)=x_1\neq -1$.

Remarque: la notion de trace peut aussi s’appliquer aux applications linéaires continues (opérateurs bornés) entre espaces de Hilbert séparables. Dans ce cas, nous pouvons utiliser les bases de hilbertiennes pour donner une représentation de l’opérateur.

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