Topologie en dimension finie

Des exercices corrigés sur la topologie en dimension finie sont proposés. En effet, ce cours est très important pour le calcul différentiel en dimension finie (fonctions de plusieurs variables). En mettant l’accent sur l’équivalence des normes, ouvertes et compactes.

Exercice: Soit $\mathbb{R}^n$ muni de la norme $\|\cdot\|_2$. La boule fermée de centre $a\in\mathbb{R}^n$ est de rayon $r>0$ est définie par\begin{align*}\overline{B}(a,r):=\left\{x\in\mathbb{R}^n:\|x-a\|_2\le r\right\}.\end{align*}Soit maintenant l’ensemble\begin{align*}A:=\bigcup_{j=1}^n \left(\overline{B}(e_j,1)\cup \overline{B}(-e_j,1)\right)\end{align*}

  1. Montrer que $x\in A$ si et seulement si $\|x\|^2_2\le 2 \|x\|_\infty$.
  2. Montrer que $\overline{B}(0,r)\subset A$ si et seulement si $r\le \frac{2}{\sqrt{n}}$.

Solution:

  1. Soit $x\in A$ donc il existe $j\in\{1,2,\cdots,n\}$ tel que\begin{align*}\|x-e_j\|_2\le 1\quad\text{ou}\quad \|x+e_j\|_2\le 1.\end{align*}Si $\|x-e_j\|-2\le 1$, alors on a\begin{align*}\|x-e_j\|^2&=\|x\|^2_2-2\langle x,e_j\rangle+ \|e_j\|^2_2\cr & =\|x\|^2_2-2x_j+ 1.\end{align*}Alors forcément $\|x\|^2_2-2x_j\le 0,$ et donc $\|x\|^2_2\le 2 \|x\|_\infty$. Le reste de la question ce trait de la même façon.
  2. Supposons que $\overline{B}(0,r)\subset A$. Remarquons que pour tout $n\ge 1$ on a\begin{align*}x:=\left(\frac{r}{\sqrt{n}},\frac{r}{\sqrt{n}},\cdots,\frac{r}{\sqrt{n}}\right)\in \overline{B}(0,r).\end{align*}Donc $x\in A,$ et d’après la question 1, on a aussi $\|x\|^2_2\le 2 \|x\|_\infty$, soit $r^2\le 2 \frac{r}{\sqrt{n}}$. Ainsi $r\le \frac{2}{\sqrt{n}}$. Inversement, par comparaison des normes on a $\|x\|_2\le \sqrt{n}\|x\|_\infty$ pour tout $x\in\mathbb{R}^n$. Maintenant, soit $x\in \overline{B}(0,r)$, alors on a $\|x\|_2\le r$. Comme par hypothèse $r\le \frac{2}{\sqrt{n}}$, alors $\|x\|_2\le \frac{2}{\sqrt{n}}$. Ce qui implique que\begin{align*}\|x\|^2_2&= \|x\|_2\times \|x\|_2\cr & \le \frac{2}{\sqrt{n}}\;\sqrt{n}\|x\|_\infty\cr & \le 2 \|x\|_\infty.\end{align*}Ainsi, d’après la question 1 on $x\in A$.

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