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Exercices sur les séries entières

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On propose des exercices sur les séries entières. C’est une classe importante de séries de fonctions très utiles en analyse mathématique.

Paquet d’exercices sur les séries entières

Exercice: (Rayon de convergence)  Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes:\begin{align*}& \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}z^n,\quad \sum_{n=1}^{+\infty} (1+\frac{1}{n})^{n^2}z^n\\ & \sum_{n=0}^{+\infty}n^n z^n,\qquad \sum_{n=0}^\infty\frac{\ln(n)}{n^2}z^{n}\\ & \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n^2}z^n,\qquad \sum_{n=0}^{+\infty}n^{\beta} z^n,\quad \beta\in\mathbb{R}.\end{align*}

Solution: 1- On pose $a_n=\frac{1}{n!}$. Comme \begin{align*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\to 0 \quad (n\to+\infty),\end{align*} alors la le rayon de convergence est $R=+\infty$. Autre méthode:Il existe $z_0\in mathbb{C}$ avec $z_0\neq 0$ tel que la série $\sum, a_n z^n_0$ soit convergente. En particulier, il existe $M>0$ tel que $|a_n z_0|\le M$ pour tout $n$. Maintenant, pour tout $z\in\mathbb{C},$ on a\begin{align*}\left| \frac{a_n}{n!}z^n \right|\le \frac{M}{n!}\left| \frac{z}{z_0} \right|^n,\end{align*}ce qui implique que la série entière en question convergence absolument, d’où le résultat.

2- Soit $a_n=(1+\frac{1}{n})^{n^2}$ pour $n\in\mathbb{N}^\ast$. Alors \begin{align*} \sqrt[n]{a_n}=(1+\frac{1}{n})^{n}=e^{n \ln(1+\frac{1}{n})}=e^{n(\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}))}=e^{1+o(1)}.\end{align*} Ainsi $ \sqrt[n]{a_n}\to e$ quand $n\to+\infty$. Par suite le rayon de convergence est $R=\frac{1}{e}$.

3- On pose $a_n=n^n$ pour $n\in\mathbb{N}$. On a \begin{align*} \sqrt[n]{a_n}=n\to +\infty (n\to+\infty).\end{align*} Ainsi le rayon de convergence est $R=0$.

4- Soit $a_n=\frac{\ln(n)}{n^2}$ pour $n\in\mathbb{N}^\ast$. On a \begin{align*}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&= \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\times \frac{n^2}{(n+1)^2}\cr &= \frac{\ln(n)+\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)}\times \frac{n^2}{(n+1)^2}\cr &= \left(1+ \frac{1}{\ln(n)}\ln(1+\frac{1}{n})\right)\times \frac{n^2}{(n+1)^2}.\end{align*} Maintenant il est claire que $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\to 1$ quand $n\to+\infty$. Ainsi le rayon de convergence est $R=1$.

5- On considère $a_n=e^{-n^2}$ pour $n\in\mathbb{N}$. On a \begin{align*}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{e^{-(1+n)^2}}{e^{-n^2}}=e^{-2n-1}\to 0\quad (n\to+\infty).\end{align*} Ce qui montre que le rayon de convergence est $R=+\infty$

6- On pose $a_n=n^{\beta}$ pour $n\in\mathbb{N}$ et $\beta\in\mathbb{R}$. On a alors \begin{align*}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}= \frac{(n+1)^\beta}{n^\beta}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^\beta\to 1\quad (n\to+\infty).\end{align*} Donc le rayon de convergence est $R=1$.

Exercice: Soit $\sum_n a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum_n a_n z^{\gamma n}$ est $R^{\frac{1}{\gamma}}$ for $\gamma>0$.

Solution: La série $\sum_n a_n z^{\gamma n}$ converge si $|z^\beta|<R$ et diverge si $|z^\beta|\ge R$. Autrement dit elle converge si $|z|<R^{\frac{1}{\gamma}}$ et diverge si $|z|\ge R^{\frac{1}{\gamma}}$. Ainsi le rayon de convergence de la série entière $\sum_n a_n z^{\gamma n}$ est $R^{\frac{1}{\gamma}}$.

Exercice: Déterminer le rayon de convergence de la série entière \begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} (1+\frac{(-1)^n}{n})^{n^2}z^n.\end{align*}

Solution: Un calcul direct ne donnera rien. En effet si on pose $a_n=(1+\frac{(-1)^n}{n})^{n^2}$, pour $n\in\mathbb{N}$. Bien entendu on a $1+\frac{(-1)^n}{n}>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. On a (voir l’exercice précèdent) \begin{align*}\sqrt[n]{a_n}= \left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)^{n}= e^{(-1)^n+o(1)}.\end{align*} Malheureusement cette quantité n’a pas de limite. Donc il faut changer la technique. Pour éviter le terme $(-1)^n$ on doit séparer les indices pair et impair. En effet, on peut écrire \begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n z^n&= \sum_{k=1}^{+\infty} b_k z^{2k}+ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k z^{2k+1}\cr &= \sum_{k=1}^{+\infty} b_k z^{2k}+ z \sum_{k=0}^{+\infty} c_k z^{2k}\end{align*} avec $b_k=a_{2k}$ et $c_k=a_{2k+1}$. On a alors \begin{align*} b_k&=\left(1+\frac{1}{2k}\right)^{4k^2},\cr c_k&=\frac{2k}{2k+1}\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4k^2+4k}.\end{align*} On a \begin{align*} \sqrt[k]{b_k}= \left(1+\frac{1}{2k}\right)^{4k}=e^{4k \ln(1+\frac{1}{2k})}=e^{2+o(1)}.\end{align*} Ce qui implique que $\sqrt[k]{b_k}\to e^2$. Ainsi d’après l’exercice précèdent, le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k=1}^{+\infty} b_k z^{2k}$ est $R_1=\sqrt{e^{-2}}=\frac{1}{e}$. D’autre part, \begin{align*} \sqrt[k]{c_k}&= \left(\frac{2k}{2k+1}\right)^{\frac{1}{k}} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4k+4}\cr &= \left(\frac{2k}{2k+1}\right)^{\frac{1}{k}} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4k}\cr &= \left(\frac{2k}{2k+1}\right)^{\frac{1}{k}} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4} e^{2+o(1)}.\end{align*} En déduit que $\sqrt[k]{c_k}\to e^2$ quad $k\to+\infty$. Par suite le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k=0}^{+\infty} c_k z^{2k}$ est $R_2=\frac{1}{e}$. Finalement le rayon de convergence de la série entière $\sum_n a_n z^n$ est $R=\min(R_1,R_2)=\frac{1}{e}$.

Applications du théorème d’Abel

Ici c’est les application du théorème d’Abel

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