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Exercices sur les séries entières

On propose des exercices sur les séries entières. C’est une classe importante de séries de fonctions très utiles en analyse mathématique.

Paquet d’exercices sur les séries entières

Exercice: (Rayon de convergence)  Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes:\begin{align*}& \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}z^n,\quad \sum_{n=1}^{+\infty} (1+\frac{1}{n})^{n^2}z^n\\ & \sum_{n=0}^{+\infty}n^n z^n,\qquad \sum_{n=0}^\infty\frac{\ln(n)}{n^2}z^{n}\\ & \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n^2}z^n,\qquad \sum_{n=0}^{+\infty}n^{\beta} z^n,\quad \beta\in\mathbb{R}.\end{align*}

Solution: 1- On pose $a_n=\frac{1}{n!}$. Comme \begin{align*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\to 0 \quad (n\to+\infty),\end{align*} alors la le rayon de convergence est $R=+\infty$. Autre méthode:Il existe $z_0\in mathbb{C}$ avec $z_0\neq 0$ tel que la série $\sum, a_n z^n_0$ soit convergente. En particulier, il existe $M>0$ tel que $|a_n z_0|\le M$ pour tout $n$. Maintenant, pour tout $z\in\mathbb{C},$ on a\begin{align*}\left| \frac{a_n}{n!}z^n \right|\le \frac{M}{n!}\left| \frac{z}{z_0} \right|^n,\end{align*}ce qui implique que la série entière en question convergence absolument, d’où le résultat.

2- Soit $a_n=(1+\frac{1}{n})^{n^2}$ pour $n\in\mathbb{N}^\ast$. Alors \begin{align*} \sqrt[n]{a_n}=(1+\frac{1}{n})^{n}=e^{n \ln(1+\frac{1}{n})}=e^{n(\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}))}=e^{1+o(1)}.\end{align*} Ainsi $ \sqrt[n]{a_n}\to e$ quand $n\to+\infty$. Par suite le rayon de convergence est $R=\frac{1}{e}$.

3- On pose $a_n=n^n$ pour $n\in\mathbb{N}$. On a \begin{align*} \sqrt[n]{a_n}=n\to +\infty (n\to+\infty).\end{align*} Ainsi le rayon de convergence est $R=0$.

4- Soit $a_n=\frac{\ln(n)}{n^2}$ pour $n\in\mathbb{N}^\ast$. On a \begin{align*}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&= \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\times \frac{n^2}{(n+1)^2}\cr &= \frac{\ln(n)+\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)}\times \frac{n^2}{(n+1)^2}\cr &= \left(1+ \frac{1}{\ln(n)}\ln(1+\frac{1}{n})\right)\times \frac{n^2}{(n+1)^2}.\end{align*} Maintenant il est claire que $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\to 1$ quand $n\to+\infty$. Ainsi le rayon de convergence est $R=1$.

5- On considère $a_n=e^{-n^2}$ pour $n\in\mathbb{N}$. On a \begin{align*}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{e^{-(1+n)^2}}{e^{-n^2}}=e^{-2n-1}\to 0\quad (n\to+\infty).\end{align*} Ce qui montre que le rayon de convergence est $R=+\infty$

6- On pose $a_n=n^{\beta}$ pour $n\in\mathbb{N}$ et $\beta\in\mathbb{R}$. On a alors \begin{align*}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}= \frac{(n+1)^\beta}{n^\beta}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^\beta\to 1\quad (n\to+\infty).\end{align*} Donc le rayon de convergence est $R=1$.

Exercice: Soit $\sum_n a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum_n a_n z^{\gamma n}$ est $R^{\frac{1}{\gamma}}$ for $\gamma>0$.

Solution: La série $\sum_n a_n z^{\gamma n}$ converge si $|z^\beta|<R$ et diverge si $|z^\beta|\ge R$. Autrement dit elle converge si $|z|<R^{\frac{1}{\gamma}}$ et diverge si $|z|\ge R^{\frac{1}{\gamma}}$. Ainsi le rayon de convergence de la série entière $\sum_n a_n z^{\gamma n}$ est $R^{\frac{1}{\gamma}}$.

Exercice: Déterminer le rayon de convergence de la série entière \begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} (1+\frac{(-1)^n}{n})^{n^2}z^n.\end{align*}

Solution: Un calcul direct ne donnera rien. En effet si on pose $a_n=(1+\frac{(-1)^n}{n})^{n^2}$, pour $n\in\mathbb{N}$. Bien entendu on a $1+\frac{(-1)^n}{n}>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. On a (voir l’exercice précèdent) \begin{align*}\sqrt[n]{a_n}= \left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)^{n}= e^{(-1)^n+o(1)}.\end{align*} Malheureusement cette quantité n’a pas de limite. Donc il faut changer la technique. Pour éviter le terme $(-1)^n$ on doit séparer les indices pair et impair. En effet, on peut écrire \begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n z^n&= \sum_{k=1}^{+\infty} b_k z^{2k}+ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k z^{2k+1}\cr &= \sum_{k=1}^{+\infty} b_k z^{2k}+ z \sum_{k=0}^{+\infty} c_k z^{2k}\end{align*} avec $b_k=a_{2k}$ et $c_k=a_{2k+1}$. On a alors \begin{align*} b_k&=\left(1+\frac{1}{2k}\right)^{4k^2},\cr c_k&=\frac{2k}{2k+1}\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4k^2+4k}.\end{align*} On a \begin{align*} \sqrt[k]{b_k}= \left(1+\frac{1}{2k}\right)^{4k}=e^{4k \ln(1+\frac{1}{2k})}=e^{2+o(1)}.\end{align*} Ce qui implique que $\sqrt[k]{b_k}\to e^2$. Ainsi d’après l’exercice précèdent, le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k=1}^{+\infty} b_k z^{2k}$ est $R_1=\sqrt{e^{-2}}=\frac{1}{e}$. D’autre part, \begin{align*} \sqrt[k]{c_k}&= \left(\frac{2k}{2k+1}\right)^{\frac{1}{k}} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4k+4}\cr &= \left(\frac{2k}{2k+1}\right)^{\frac{1}{k}} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4k}\cr &= \left(\frac{2k}{2k+1}\right)^{\frac{1}{k}} \left(1-\frac{1}{2k+1}\right)^{4} e^{2+o(1)}.\end{align*} En déduit que $\sqrt[k]{c_k}\to e^2$ quad $k\to+\infty$. Par suite le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k=0}^{+\infty} c_k z^{2k}$ est $R_2=\frac{1}{e}$. Finalement le rayon de convergence de la série entière $\sum_n a_n z^n$ est $R=\min(R_1,R_2)=\frac{1}{e}$.

Applications du théorème d’Abel

Ici c’est les application du théorème d’Abel

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