Accueil Analyse Exercices corrigés sur les séries de fonctions

Exercices corrigés sur les séries de fonctions

422

Exercices corrigés sur les séries de fonctions sont proposés. Des séries dont le terme général est une suite de fonctions. Donc on a deux types de convergences, à savoir, la convergence simple et uniforme. Ces dernier sont facile a obtenir si on applique bien les critères de comparaisons.

Paquet d’exercices corrigés sur les séries de fonctions

Exercice: Etudier la convergence simple, normale est uniforme de la série de fonctions $\sum u_n(x)$ avec: \begin{align*}u_n(x)=\frac{x}{(1+nx)(1+(n+1)x)} ,\quad (x\in\mathbb{R}^+).\end{align*}

Solution: On remarque que pour tout $x\ge 0$ and $n\ge 1$ on a\begin{align*}\frac{x}{(1+nx)(1+(n+1)x)}=\frac{1}{1+nx}-\frac{1}{1+(n+1)x}.\end{align*}Alors la suite des sommes partielles,\begin{align*}S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_n(x)=1-\frac{1}{1+(n+1)x}.\end{align*}Ce qui implique que $S_n(x)$ converge vers $1$ quand $n\to+\infty$ pour tout $x>0$, et vers $0$ si $x=0$. Donc la série de fonction $\sum u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers la fonction $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ définie par\begin{align*}f(x)=\begin{cases} 1,& x>0,\cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*}La fonction $f$ n’est pas continue sur $\mathbb{R}^+$. Comme les fonctions $u_n$ sont continues sur $\mathbb{R}^+,$ alors la convergence de la série n’est pas uniforme sur $\mathbb{R}^+$, car sinon la limite $f$ sera aussi continue sur $\mathbb{R}^+$. D’autre part, soit $a>0$ un réel. Alors on a\begin{align*}\sup_{x\ge a} |S_n(x)-1|\le \frac{1}{1+(n+1)a}.\end{align*}Donc la série $\sum u_n(x)$ converge uniformément vers la fonction constante égale à $1$ sur $[a,+\infty[$.

Exercice: Soit la série de fonctions $\sum_{n\ge 0} x^{2n}$. Etudier la convergence simple de cette série de fonctions sur $[0,1[,$ la convergence uniforme sur $[0,\beta]$ avec $0<\beta<1,$ et la convergence uniforme sur $[0,1[$.

Solution: Soit $(S_n)_n$ la suite des sommes partielles. Alors pour tout $x\in [0,1[$ on a $0\le x^2<1$ et pour tout $N\in\mathbb{N},$\begin{align*} S_N(x)=\sum_{n=0}^N (x^2)^n=\frac{1-(x^2)^{N+1}}{1-x^2}.\end{align*} Comme $(x^2)^{N+1}\to 0$ quand $N\to+\infty,$ alors la suite de fonctions $S_N$ converge simplement vers la fonction $f:[0,1[\to\mathbb{R}$ donnée par $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$. Soit $\beta\in ]0,1[$. Pour tout $x\in [0,\beta]$ on a $|x^{2n}|\le (\beta^2)^n$, ce qui implique que la série de fonctions $\sum_{n\ge 0} x^{2n}$ converge normalement, donc uniformément sur $[0,\beta]$. D’autre part, par l’absurde, on suppose que $S_N$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1[$. On a \begin{align*} |S_N(x)-f(x)|=\left|\frac{1-(x^2)^{N+1}}{1-x^2}-\frac{1}{1-x^2}\right|=\frac{(x^2)^{N+1}}{1-x^2}.\end{align*} Comme $a_N=1-\frac{1}{N}\in [0,1[$ pour tout $N\in \mathbb{N}^\ast,$ alors \begin{align*} \sup_{x\in [0,1[}|S_N(x)-f(x)|\ge \frac{(a_N^2)^{N+1}}{1-a_N^2}=N^2\frac{a_N^{2N+2}}{2N-1}.\end{align*} Il connu que $a_N\to e^{-1}$ quand $N\to+\infty$. Donc \begin{align*} N^2\frac{a_N^{2N+2}}{2N-1}\sim \frac{N}{2e^2}\to +\infty \quad (N\to\infty).\end{align*} Ainsi la convergence de la série de fonctions n’est pas uniforme sur $[0,1[$.

Exercice: On considère la suite de fonction $f_n:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ définie par \begin{align*} f_n(x)=(-1)^n\frac{e^{-nx}}{n+1},\quad n\in\mathbb{N},\quad x\ge 0.\end{align*}

  1. Montrer que la série de fonction $\sum_n f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$.
  2. Montrer que $\sum_n f_n$ converge normalement sur $[\beta,+\infty[$ pour tout $\beta>0$. Que se passe-t-il sur $[0,+\infty[$ ou $]0,+\infty[$ ?
  3. Montrer que $\sum_n f_n$ converge uniformement sur $\mathbb{R}^+$.

Solution: 1- D’une part, $f_n(0)=\frac{(-1)^n}{n+1}$ est le terme général d’une série numérique alternée, donc converge. D’autre part, pour $x>0,$ (fixer) on a $n^2 |f_n(x)|\to 0$ quand $n\to +\infty$. Donc par comparaison avec la série de Riemann ($\alpha=2$), la série $\sum_{n\ge 0}f_n(x)$ converge. Ce qui implique que la série de fonctions $\sum_{n\ge 0}f_n$ converge simplement sur $[0,+\infty[$.

2- Soit $\beta>0$. Pour tout $x\in [\beta,+\infty[$, on a $|f_n(x)|\le (e^{-\beta})^n$, pour tout $n$. Comme $e^{-\beta}\in ]0,1[,$ alors la série numérique $\sum_n (e^{-\beta})^n$ converge. par suite la serie de fonctions $\sum_n f_n$ converge normalement sur $[\beta,+\infty[$. Comme la le maximum de la fonction $x\mapsto e^{-n x}$ sur $[0,+\infty[$ est égale a $1$, alors $\sup_{x\ge 0}|f_n(x)|=\frac{1}{n+1}$. Comme la serie Harmonique de terme général $\frac{1}{n+1}$ est divergente (il faut remarquer que $\frac{1}{n+1}\sim \frac{1}{n}$ quand $n\to\infty$), alors la convergence de la série de fonctions $\sum_n f_n$ n’est uniforme sur $\mathbb{R}^+$. La même chose sur $]0,+\infty[$.

3- La majoration du reste d’une série satisfaisant aux hypothèses du théorème des séries alternées, nous donne \begin{align*} |R_n(x)|\le |f_{n+1}(x)|=\frac{e^{-(n+1)x}}{n+2}\le \frac{1}{n+2},\quad x\ge 0.\end{align*} Donc \begin{align*} \sup_{x\ge 0}\left|\sum_{n=0}^\infty f_n(x)-\sum_{n=0}^N f_n(x)\right|&= \sup_{x\ge 0}|R_N(x)|\cr & \le \frac{1}{N+2}\to 0\quad (N\to\infty).\end{align*}Ainsi la serie de fonctions $\sum_n f_n$ converge uniformément sur $\mathbb{R}^+$.

Article précédentExercices sur les séries entières
Article suivantExercices sur les Sommes de Riemann généralisées