Nous proposons un résumé de cours sur les anneaux. En effet, nous rappelons les définitions et les résultats importants de ce chapitre. Nous introduisons également des méthodes pratiques pour résoudre les exercices sur les anneaux.
Résumé de cours sur les anneaux
Un anneau est un ensemble $A$ muni de deux lois de composition interne $+$ et $\times$ vérifiant les propriétes suivantes: $(A,+,\times)$ est un groupe abélien, la loi $\times$ est associative, $A$ admet un élément neutre pour la loi $\times$ et que cette loi est distributive sur $+$ à gauche et à droite.
Si de plus la loi $\times$ est commutative, on dit que $A$ est un anneau commutatif.
Exemples: Voici quelques anneaux classiques
- L’ensemble $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ muni des loi $+$ et $\times$ est un anneau commutatif.
- $(\mathbb{R},+,\times)$ est un anneau commutatif.
- $(\mathbb{R}[X],+,\times)$ est un anneau commutatif.
- Soient $(A,+,\times)$ et $(A,+,\times)$ sont deux anneau. On définit deux lois de composition interne sur le produit cartésien $A\times B$ en posant, pour tout $x,x’\in A$ et $y,y’\in B,$ \begin{align*}&(x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’),\cr & (x,y)\times(x’,y’)=(x\times x’,y\times y’).\end{align*}Alors $A\times B$ muni de ces lois est un anneau et il est commutatif si $A$ et $B$ le sont.
Sous-anneau
Soit $(A,+,\times)$ un anneau. Une partie $B$ de $A$ est dit un sous-anneau de $A$ si l’élément neutre de $A$ pour la loi $\times$ vérifie $1_A\in B$, et pour tout $x,y\in B$ on a $x-y\in B$ et $x\times y\in B$.
