Ce résumé de cours sur les anneaux vise à fournir aux étudiants une perspective claire et concise sur les concepts fondamentaux qui sous-tendent cette théorie, en mettant l’accent sur les notions essentielles et les propriétés clés.
Les anneaux sont des structures mathématiques cruciales qui trouvent leur application dans divers domaines, de l’algèbre à la géométrie en passant par la théorie des nombres. Nous introduisons également des méthodes pratiques pour résoudre les exercices sur les anneaux.
Résumé de cours sur les anneaux
Un anneau est une structure algébrique qui combine les opérations d’addition et de multiplication.
Un anneau est un ensemble $A$ muni de deux lois de composition interne $+$ et $\times$ vérifiant les propriétes suivantes: $(A,+,\times)$ est un groupe abélien, la loi $\times$ est associative, $A$ admet un élément neutre pour la loi $\times$ et que cette loi est distributive sur $+$ à gauche et à droite.
Si de plus la loi $\times$ est commutative, on dit que $A$ est un anneau commutatif.
Exemples: Voici quelques anneaux classiques
- L’ensemble $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ muni des loi $+$ et $\times$ est un anneau commutatif.
- $(\mathbb{R},+,\times)$ est un anneau commutatif.
- $(\mathbb{R}[X],+,\times)$ est un anneau de polynomes commutatif.
Anneau Produit
Soient $(A,+,\times)$ et $(B,+,\times)$ sont deux anneau. On définit deux lois de composition interne sur le produit cartésien $A\times B$ en posant, pour tout $x,x’\in A$ et $y,y’\in B,$ \begin{align*}&(x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’),\cr & (x,y)\times(x’,y’)=(x\times x’,y\times y’).\end{align*}Alors $A\times B$ muni de ces lois est un anneau et il est commutatif si $A$ et $B$ le sont.
Sous-Anneaux et Idéaux
Un sous-anneau $S$ d’un anneau $A$ est un sous-ensemble de $A$ qui forme lui-même un anneau avec les mêmes opérations. Voici un caractérisation des sous-anneaux.
Proposition: Soit $(A,+,\times)$ un anneau et $S\subset A$. Alors $S$ de $A$ un sous-anneau de $A$ si et seulement si l’élément neutre de $A$ pour la loi $\times$ vérifie $1_A\in S$, et pour tout $x,y\in S$ on a $x-y\in S$ et $x\times y\in S$
Les idéaux sont des sous-ensembles spéciaux qui jouent un rôle fondamental dans la théorie des anneaux.
Un sous-ensemble $I$ d’un anneau $A$ est idéal de $A$ si
- $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$.
- Pour tout $a\in A$ et $r\in I$, on a $ar\in I$ et $ra\in I$.
Morphismes d’Anneaux
Les morphismes d’anneaux sont des applications qui préservent les opérations d’addition et de multiplication entre deux anneaux.
Soient $A$ et $B$ deux anneau. Une allplication $f:A\to B$ est dite un morphisme d’anneaux si pour tout $x,y\in A$ on a \begin{align*} f(x+y)=f(x)+f(y),\quad f(xy)=f(x)f(y).\end{align*}
Un isomorphisme d’anneaux est un morphisme bijectif qui préserve les opérations et permet d’établir une correspondance bijective entre les éléments des deux anneaux.
Il faut connaitre la relation entre les anneaux et le corps. Il y aussi d’autres partie important le le cours sur les anneaux, comme caractéristique d’un anneau et le groupe des inversible dans un anneau.
