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Exercices sur l’analyse combinatoire

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On propose des exercices sur l’analyse combinatoire. En particulier, le calcul de cardinal des ensembles finis. On rappel que le cardinal d’un ensemble est le nombre des éléments de cet ensemble.

Formule de Binôme

On rappel que si $n\in\mathbb{N}$ alors on note $n!=1\times 2\times\cdots\times n$ et par convention $0!=1$. De plus on note\begin{align*}C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\end{align*}

Formule de Binôme: Si $(A,+,\times)$ est un anneau commutatif, et si $a,b\in A$ et $n\in \mathbb{N},$ alors \begin{align*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n C^k_n a^{n-k}b^k.\end{align*}

Exercice sur l’analyse combinatoire

Exercice: Soit $n\in\mathbb{N}^\ast$. Calculer la somme\begin{align*}S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\frac{C^{k+1}_n}{C^{k}_n}.\end{align*}

Solution: On a la formule suivante \begin{align*}\frac{C^{k+1}_n}{C^{k}_n}&=\frac{n!}{(k+1)!(n-k_1)!}\times \frac{k!(n-k)!}{n!}\cr &= \frac{n-k}{k+1}.\end{align*} On remplace dans l’expression $S$ on trouve \begin{align*}S&=\sum_{k=0}^{n-1} (n-k)=\sum_{k=1}^{n} k\cr &= \frac{n(n+1)}{2}.\end{align*}

Exercice: Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$. Montrer que ${\rm card}(\mathcal{P}(E))=2^n$.

Solution: Pour toute partie $A$ de $E,$ on note par $\chi_A:E\to \{0,1\}$ la fonction caractéristique de $A$ définie par\begin{align*}\chi_A(x)=\begin{cases} 1,& x\in A,\cr 0,& x\notin A.\end{cases}\end{align*}

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