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Groupe symétrique

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Le groupe symétrique fournit le langage mathématique nécessaire au traitement de particules identiques. Ce groupe est très important dans la théorie des groupes et aussi pour la définition du déterminant d’une matrice. parfois on l’appelle groupe de permutation

Généralités sur le groupe symétrique 

Définition: un groupe symétrique d’ensemble $E$ est l’ensemble de bijection de $E$ dans $E$, et il sera noté par $S(E)$. Notez que $S(E)$ dans est aussi appelé groupe des permutations. En fait $S(E)$ est un groupe pour la loi définie par la composition des applications.

Dans la plus part des cas $E$ est un ensemble fini de la forme $E=\{1,2,\cdots,n\}$, et donc $S(E)$ sera noté tout simplement par $S_n$. Il est bien claire que $S_n$ est un groupe fini d’ordre $n!$. Dans ce qui suit les éléments de $S_n$ seront appelés permutations.

Définition: Un $k$-cycle $(x_1\cdots x_k)$ est une permutation $\sigma$ tel que $\sigma(x_1)=x_2,$ $\sigma(x_2)=x_3$,$\cdots$, $\sigma(x_k)=x_1,$ et $\sigma(y)=y$ pour tout $y\neq x_i$ pour tout $i$. Un $2$-cycle est appelé une transposition.

  • Toute permutation $\rho$ ne peut s’écrire que sous la forme d’un produit de cycles disjoints de longueur supérieure à 1.
  • Toute permutation est produit (non unique) de transpositions.
  • Tout groupe G d’ordre $N$ est isomorphe à un sous-groupe de du groupe symétrique $S_N$; ce résultat est connu sous le nom de théorème de Cayley.
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