Exercices sur le déterminant de Vandermonde

Nous proposons une sélection d’exercices sur le déterminant de Vandermonde et ses application. En effet, ces exercices sont destinés aux étudiants de première année universitaire et classes préparatoires. Nous avons déjà dédié une page de ce site qui étudie tous les types de déterminants des matrices carrées.

Sélection d’exercices sur le déterminant de Vandermonde

Exercice (déterminant de Vandermonde): Soient $n\in\mathbb{N}^\ast$ et $a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{C}$. Be but est de donner l’expression du déterminant suit appelé le déterminant de Vandermonde:\begin{align*} V_n(a_1,\cdots,a_n):=\begin{vmatrix} 1& a_1&a_1^2&\cdots&a_1^{n-1}\\ 1& a_2&a_2^2&\cdots&a_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1& a_n&a_n^2&\cdots&a_n^{n-1}\end{vmatrix}\end{align*} On pose $P_n(x)=V_n(a_1,\cdots,a_{n-1},x)$ pour $n\ge 1$ et $x\in\mathbb{C}$.

1.  Montrer que $P_n$ est une fonction polynomiale de degré inferieur à $n-1$ et préciser le coefficient de son terme de degré $n-1$.
2. En déduire la relation \begin{align*}\tag{$\ast$} V_n(a_1,\cdots,a_n)=V_{n-1}(a_1,\cdots,a_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i).\end{align*}
3.  Coclure que \begin{align*}\tag{$\ast\ast$} V_n(a_1,\cdots,a_n)=\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i).\end{align*}

Solution: Dans la suite $x\in \mathbb{C}$ et $n\ge 2$.

1. $P_n(x)$ un déterminant qui dépond de $x$, on le développe selon la dernière line. Donc on a \begin{align*} P_n(x)=\sum_{j=1}^n (-1)^{n+j} \beta_{j-1}x^{j-1},\end{align*} avec $\beta_{j-1}$ est le déterminant de la matrice obtenu par suppression de la $j$-ième colonne et de la dernière ligne. Notez que $\beta_0,\cdots,\beta_{n-1}$ ne dépondent pas de $x$. Donc $P_n(x)$ une fonction polynomiale de degre inferieur à $n-1$. De plus le coefficient de $x^{n-1}$ correspond à $\beta_{n-1}$ est exactement  $V_{n-1}(a_1,\cdots,a_{n-1})$.
2.  Notez que si $x\in \{a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}\}$, alors $P_n(x)=0$ car matrice du déterminant var contenir deux lignes identiques. Deux cas doivent alors être distingués. Premier cas: $a_i\neq a_j$ pour tout $i,j\in\{1,2,\cdots,n-1\}$.  Donc d’apres la question precedente on a \begin{align*} P_n(x)=V_{n-1}(a_1,\cdots,a_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}(x-a_i).\end{align*} Ains la relation ($\ast$) est obtenu en prenant $x=a_n$. Deuxième cas: les $a_1,\cdots,a_{n-1}$ ne sont pas deux à deux distincts, donc le déterminant contiendra des lignes identiques et donc il est nulle. De même, le côté droit de ($\ast$) est également égal à zéro. Dans cette relation est bien vérifier.
3.  Nous allons procéder par récurrence.  Pour $n=2,$ on a \begin{align*} V_2(a_1,a_2)=\begin{vmatrix}1&a_1\\ 1&a_2\end{vmatrix}=a_2-a_1.\end{align*} Donc la relation ($\ast\ast$) est varie dans ce cas. Maintenanant, supposons que ($\ast\ast$) est vraie pour le rang ($n-1$). D’après la relation ($\ast$) on a \begin{align*}V_{n}(a_1,\cdots,a_{n})&= V_{n-1}(a_1,\cdots,a_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i) \cr &= \prod_{1\le i<j\le n-1}(a_j-a_i)\;\underset{j=n}{\underbrace{\prod_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i)}}\cr &=\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i).\end{align*}

Cette formule est due au mathématicien Français  Alexandre-Théophile Vandermonde.