Les inégalités de Hölder et Minkowski jouent un rôle central dans l’analyse mathématique et trouvent des applications puissantes en calcul intégral. Dans cet article, nous explorerons en détail ces inégalités, en expliquant leurs concepts, en mettant en évidence leurs utilisations et en fournissant des exemples concrets adaptés aux étudiants universitaires.
Inégalité de Hölder
Cette inégalité est très utile pour estimer des intégrales au sense de Riemann. On rappelle que Hölder est un mathématicien allemand né à Stuttgart (1859-1937).
Théorème (Hölder): Soient $a,b\in\mathbb{R},$ tels que $b>a$ et $f,g$ deux fonctions réelles ou complexes intégrable au sense de Riemann sur $[a,b]$. Soient $p,q\in \mathbb{R}^\ast_+$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que \begin{align*}\int^a_b |f(t)g(t)|dt \le \left(\int^b_a |f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int^b_a |g(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{q}}.\end{align*}
On pose \begin{align*} &\alpha:=\left(\int^b_a |f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}\cr & \beta:=\left(\int^b_a |g(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{q}}.\end{align*} On utilisant un exercice sur les applications des fonctions convexes, pour tout $u,v\in\mathbb{R}^+$, on a\begin{align*} uv\le \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}.\end{align*} Maintenant, pour $x\in [a,b]$ on pose $u=\frac{1}{\alpha}|f(x)|$ et $v=\frac{1}{\beta}|g(x)|$. Donc \begin{align*} \frac{1}{\alpha\beta}\int^b_a |f(x)g(x)|dx\le \frac{\alpha^p}{p\alpha^p}+\frac{\beta^q}{a\beta^q}=1.\end{align*} D’où le résultat.
Inégalité Minkowski
Théorème (Minkowski): Soit $f$ une fonction réelle ou complexe intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$. Pour tout réel $p\ge 1$, on définit \begin{align*}N_p(f):=\left(\int^b_a |f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}.\end{align*}Montrer que l’inégalité de Minkowski suivante $N_p(f+g)\le N_p(f)+N_p(g)$ pour toute fonctions réelles ou complexes $f,g$ intégrables sur $[a,b]$.
Applications en Calcul Intégral
Ces inégalités sont essentielles pour établir des estimations sur des quantités intégrales complexes. Par exemple, elles sont utilisées pour prouver des inégalités importantes telles que l’inégalité de Sobolev et l’inégalité de Young. En économie et en sciences de l’ingénieur, elles aident à analyser les modèles mathématiques qui impliquent des intégrales de produits.
Les inégalités de Hölder et Minkowski sont des outils puissants en calcul intégral, offrant des moyens de quantifier les relations entre les fonctions et leurs intégrales. En tant qu’étudiants universitaires, la maîtrise de ces inégalités peut enrichir votre compréhension des concepts fondamentaux de l’analyse mathématique et de leurs applications variées.
