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Inégalités de Hölder et Minkowski

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Nous proposons une preuve des inégalités de Hölder et Minkowski. L’inégalité de Cauchy-Schwarz est un cas particulier de celle de Hölder. Ces inégalités jouent un rôle important dans les preuves de nombreux théorèmes classiques. Ils aident également à donner de bonnes estimations mathématiques.

Inégalité de Hölder

Cette inégalité est très utile pour estimer des intégrales au sense de Riemann. On rappelle que  Hölder est un mathématicien allemand né à Stuttgart (1859-1937).

Théorème (Hölder): Soient $a,b\in\mathbb{R},$ tels que $b>a$ et $f,g$ deux fonctions réelles ou complexes intégrable au sense de Riemann sur $[a,b]$. Soient $p,q\in \mathbb{R}^\ast_+$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que \begin{align*}\int^a_b |f(t)g(t)|dt \le \left(\int^b_a |f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int^b_a |g(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{q}}.\end{align*} Preuve: On pose \begin{align*} &\alpha:=\left(\int^b_a |f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}\cr & \beta:=\left(\int^b_a |g(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{q}}.\end{align*} On utilisant un exercice sur les applications des fonctions convexes, pour tout $u,v\in\mathbb{R}^+$, on a\begin{align*} uv\le \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}.\end{align*} Maintenant, pour $x\in [a,b]$ on pose $u=\frac{1}{\alpha}|f(x)|$ et $v=\frac{1}{\beta}|g(x)|$. Donc \begin{align*} \frac{1}{\alpha\beta}\int^b_a |f(x)g(x)|dx\le \frac{\alpha^p}{p\alpha^p}+\frac{\beta^q}{a\beta^q}=1.\end{align*} D’où le résultat.

 Inégalité Minkowski

Theorem (Minkowski): Soit $f$ une fonction réelle ou complexe intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$. Pour tout réel $p\ge 1$, on définit \begin{align*}N_p(f):=\left(\int^b_a |f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}.\end{align*}Montrer que l’inégalité de Minkowski suivante $N_p(f+g)\le N_p(f)+N_p(g)$ pour toute fonctions réelles ou complexes $f,g$ intégrables sur $[a,b]$.

Applications

Dans cette section nous donnons des applications sur inégalités de Hölder et Minkowski.

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