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Extension du lemme de Lebesgue

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Ici on propose un exercice corrigé sur une extension du lemme de Lebesgue pour les fonctions localement intégrables au sens de Riemann sur l’ensemble de nombres réels.

On rappelle qu’une fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est dite localement intégrable au sens de Riemann sur $\mathbb{R}$ si pour tout $a,b\in\mathbb{R}$ avec $a<b,$ la fonction $f$ est intégrable sur $[a,b]$.

Résultat classique de Lebesgue les intégrales définies

Foit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction intégrable sur $[a,b]$. Alors on a \begin{align*} \lim_{\lambda\in \mathbb{R},\lambda\to +\infty} \int^b_a e^{i\lambda t} f(t)dt=0.\end{align*}C’est le lemme de Lebesgue. Dans le paragraphe suivant nous allons donner une extension de ce lemme sous forme d’un exercice. De plus nous allons déduire une preuve du résultat en haut.

L’exercice suivant est un peu théorique, il suffit de comprendre la démonstration que je vais détailler. Pour être bon en mathématiques, vous devez, sans aucun doute, faire des exercices de calcul pour appliquer le cours et aussi des exercices théoriques pour approfondir vos connaissances.

Extension du lemme de Lebesgue

Exercice: Soit $g:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ une fonction localement intégrable sur $\mathbb{R}$ et $T$-périodique ($T>0$ un réel).

  1. Montrer que pour tout $a,b\in\mathbb{R}$ (avec $b>a$), on a\begin{align*}\lim_{\lambda\to +\infty}\int^b_a g(\lambda t)dt=\frac{b-a}{T}\int^T_0 g(t)dt.\end{align*}
  2. Monter si $f:[a,b]\to \mathbb{C}$ est intégrable, alors\begin{align*}\lim_{\lambda\to +\infty}\int^b_a g(\lambda t)f(t)dt=\frac{1}{T}\int^T_0 g(t)dt \int^b_a f(t)dt.\end{align*}
  3. Expliciter le résultat obtenu pour chaque cas de la fonction $g:$\begin{align*}&g(t)=e^{it},\quad g(t)=|\sin(t)|,\quad g(t)=|\cos(t)|,\cr & g(t)=\sin^2 t,\quad g(t)=\cos^2(t).\end{align*}

Solution: Pour $\lambda>0$ le changement de variable $s=\lambda t$, nous donne \begin{align*} \Phi_\lambda:=\int^b_a g(\lambda t)dt=\frac{1}{\lambda}\int^{\lambda b}_{\lambda a}g(s)ds.\end{align*} Il faut maintenant profiter de la périodicité de la fonction $g$. Pour cela nous allons écrire la mesure de l’intervalle $[\lambda a,\lambda b]$ (qui est $\lambda b-\lambda a$) en fonction de la période $T$. Ensuite, vous devez faire la division euclidienne de $\lambda b-\lambda a$  par $T$, on ecrie donc \begin{align*} \lambda b-\lambda a= n_\lambda T+r_\lambda,\quad 0\le r_\lambda<T,\end{align*}avec $n_\lambda\in\mathbb{N}$ est la partie entiere de $(\lambda b-\lambda a)/T$. D’autre part, la relation de chasles implique \begin{align*} \Phi_\lambda&= \frac{1}{\lambda}\int^{\lambda a+n_\lambda T}_{\lambda a}g(s)ds+\frac{1}{\lambda}\int^{\lambda b}_{\lambda a+n_\lambda T} g(s)ds\cr &= \frac{n_\lambda}{\lambda}\int^T_0 g(s)ds+\frac{1}{\lambda}\int^{\lambda b}_{\lambda a+n_\lambda T} g(s)ds.\end{align*} On aussi \begin{align*} \frac{b-a}{T}=\frac{n_\lambda}{\lambda}+\frac{r_\lambda}{\lambda T}.\end{align*} Puisque \begin{align*}0\le \frac{r_\lambda}{\lambda T}< \frac{1}{\lambda},\end{align*} alors  $$ \lim_{n\to+\infty} \frac{n_\lambda}{\lambda}=\frac{b-a}{T}.$$ Ainsi \begin{align*}\lim_{\lambda\to+\infty} \frac{n_\lambda}{\lambda}\int^T_0 g(s)ds=\frac{b-a}{T}\int^T_0 g(s)ds.\end{align*} Notez que la fonction $g$ est bornée sur $[0,T]$ car elle est intégrable sur $[0,T]$. Comme la fonction $g$ est aussi $T$-périodique alors $g(\mathbb{R})=g([0,T]),$ et donc $g$ est bornée sur $\mathbb{R}$. Il existe donc une constante $M>0$ telle que $|g(\sigma)|\le M$ pour tout $\sigma\in\mathbb{R}$. Ce qui implique \begin{align*} \left| \frac{1}{\lambda}\int^{\lambda b}_{\lambda a+n_\lambda T} g(s)ds \right|& \le \frac{1}{\lambda} \int^{\lambda b}_{\lambda a+n_\lambda T} |g(s)|ds\cr & \le \frac{M}{\lambda} r_\lambda \le \frac{MT}{\lambda}\to 0\; (\lambda\to+\infty).\end{align*} D’où le résultat

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