On propose des exercices sur les relations d’ordre. Les relations d’ordre, fondamentales en mathématiques, offrent une manière élégante de comparer et de classer les éléments d’un ensemble. Leur importance s’étend au-delà des concepts théoriques, trouvant des applications dans divers domaines.
Cet article, vous invite à plonger dans des défis pratiques qui vous aideront à maîtriser les subtilités de ce concept. À travers une série d’exercices soigneusement sélectionnés, nous explorerons les différents types de relations d’ordre, les propriétés clés et les applications concrètes, vous permettant ainsi de développer une compréhension profonde et une expertise pratique dans ce domaine fondamental des mathématiques.
Sélection d’exercices sur les relations d’ordre
Relation d’ordre qui n’est pas totale
Exercice 1: On définit une relation $\mathscr{R}$ sur $\mathbb{R}$ par : $x,y\in \mathbb{R}$, $p\mathscr{R} q$ si et seulement si $x-y\in\mathbb{N}$. $\mathscr{R}$ est-elle une relation d’ordre ? Est-ce totale ?
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, nous avons $x-x=0\in\mathbb{N}$. Ainsi $x\mathscr{R}x$. Supposons maintenant, $x,y\in\mathbb{R}$ et que $x\mathscr{R} y$ et $y\mathscr{R} x$. Il existe donc $n,m\in\mathbb{N}$ tel que $x-y=n$ et $y-x=0$. La somme de ces deux égalités nous donne $n+m=0$. Puisque $n$ et $m$ sont deux entiers positifs et que leur somme est nulle, alors $n=m=0$. Par conséquent, $x=y$.
Soit $x,y,z\in\mathbb{R}$ tel que $x\mathscr{R} y$ et $y\mathscr{R} z$. Ensuite, nous pouvons écrire $x-y=n$ et $y-z=m$ pour certains $n,m\in\mathbb{N}$. En résumé, nous trouvons $x-z=n+m\in\mathbb{N}$. D’où $x\mathscr{R} z$. Par conséquent $\mathscr{R}$ est une relation d’ordre.
La relation d’ordre $\mathscr{R}$ n’est pas totale, car il existe des nombres réels qui ne sont pas comparables par une telle relation. Considérez simplement les deux nombres $1$ et $\frac{1}{2}$, nous avons $1-\frac{1}{2}= \frac{1}{2}\notin\mathbb{N}$.
Relation d’ordre sur l’ensemble des applications
Exercice 2: Soit $E:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ l’ensemble des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On considère la relation $\preceq$ définie sur $E$ par: pour tout $f,g\in E$,\begin{align*}f\preceq g \;\Longleftrightarrow \;\forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)\le g(x).\end{align*}
1- Montrer que $\preceq$ est une relation d’ordre sur $E$. Cet ordre est-il partiel? total?
2- Interpréter $\prec$ pour un couple quelconque $(f,g)\in E^2$
3- Donner des exemples d’applications $f$ et $g$ de $E$ satisfaisant $f \prec g$.
4- Soit $(f,g)\in E^2$. A-t-on l’équivalent\begin{align*}f \prec g \;\Longleftrightarrow \; (f(x) < g(x),\;\forall x\in\mathbb{R})?\end{align*}
1- Soit $f\in E$. Pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f(x)\le f(x)$. Donc $f\preceq f,$ c’est-à-dire $\preceq$ est reflexive. Soient maintenant $f,g\in E$ tels que $f\preceq g$ et $g\preceq f$. Donc on a à la fois $f(x)\le g(x)$ et $g(x)\le f(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. Donc $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. C e qui donne $f=g,$ c’est-à-dire $\preceq$ est antisymétrique. Finalement, soient $f,g$ et $h$ des éléments de $E$ tels que $f\preceq g$ et $g\preceq h$. Alors pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f(x)\le g(x)$ et $g(x)\le h(x),$ ce qui implique que $f(x)\le h(x)$. Ainsi $f\preceq h$, ce qui signifie que $\preceq$ est transitive. Donc elle définit bien une relation d’ordre. D’autre part, l’ordre $\preceq$ est évidemment un ordre partiel. En effet, soient $f$ et $g$ deux applications dans $E$ tels que\begin{align*}f(0)=1,\;g(0)=-1,\;f(1)=-1,\;text{et}\;g(1)=0.\end{align*}Alors, on voit que ni $f\preceq g$ ni $g\preceq f$.
2- Pour $(f,g)\in E^2$ on a $f\prec g$ si et seulement si ($f\preceq g$ et $f\neq g$) si et seulement si $f(x)\le g(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ et il existe $x_0\in\mathbb{R}$ avec $f(x_0)\neq g(x_0)$ (i.e. $f(x_0) < g(x_0)$).
3- Soient $f$ et $g$ définies $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}^\ast_-$, et $f(x)=|x|,\;g(x)=e^x$ pour tout $x\in\mathbb{R}_+$. On a évidement $f\prec g$.
4- L’implication ($\Longleftarrow$) est toujours vraie. Pour l’autre implication, dans l’exemple fourni dans la question précédente, on voit que $f\prec g$ au moment où pour tout $x$ négatif $f(x)=g(x)$. Ainsi les deux assestions ne sont pas équivalentes.
Éléments minimale et maximale
Exercice 3: On définit une relation $\preccurlyeq$ sur $\mathbb{N}^\ast$ par : $p,q\in \mathbb{N}^\ast$, $p\preccurlyeq q$ s’il y a $n\in \mathbb{N}^\ast$ tel que $q=p^n$.
1- Vérifier que $\preccurlyeq$ définit une relation d’ordre partiel sur $\mathbb{N}^\ast$.
2- Soit $E=\{3,9,27\}$. Déterminez le plus grand et le plus petit élément de $E$.
This is the solution text.
1- Pour $p\in\mathbb{N}^\ast$, on a $p=p^1$, donc $p \preccurlyeq p$. Ce qui montre que $\preccurlyeq$ est reflexive.
Soit $p,q\in \mathbb{N}^\ast$ tels que $p \preccurlyeq p$ et $q \preccurlyeq p$. Donc il existent $n,m\in \mathbb{N}^\ast$ tel que $q=p^n\ge p$ et $p=q^m\ge q$. Ainsi $p=q$. Ce qui preuve que $\preccurlyeq$ est antisymétrie.
Soit $p,q,r\in \mathbb{N}^\ast$ tels que $p \preccurlyeq p$ et $q \preccurlyeq r$. Donc on peut trouver $n,m\in \mathbb{N}^\ast$ tels que $q=p^n$ et $r=q^m$. Ce qui donne $r=(p^n)^m=p^{nm}$. On a alors $p \preccurlyeq r$. Donc la relation $\preccurlyeq$ est transitive, alors c’est une relation d’ordre partiel sur $\mathbb{N}^\ast$.
2- On a $9=3^2$ et $81=3^4$, donc $3 \preccurlyeq 9$ et $3 \preccurlyeq 81$. Ainsi 3 est le plus petit élément de $E$.
De plus, $81=3^4$ et $81=9^2,$ donc $3 \preccurlyeq 81$ et $9 \preccurlyeq 81$. Ainsi $81$ est le grand élément de $E$.
Exercice 4: Un élément $M$ (resp. $m$) d’un ensemble ordonné $(E,\preceq)$ est dit maximal (resp. minimal) si et seulement si pour tout $x\in E,$ \begin{align*}M \preceq x\;\Longrightarrow\; x=M\quad (\text{resp.} x \preceq m\;\Longrightarrow\; x=m).\end{align*}Soit $(E,\preceq)$ un ensemble partiellement ordonné.
1- Montrer que si $E$ admet un plus petit élément, alors $E$ admet un élément minimal.
2- Cet élément minimal est-il unique?
This is the solution text.
1- Supposons que le minimum de $E$ existe, et notons $M$ cet élément. Soit $A$ un élément de $E$ tel que $A \preceq M$. Comme $M$ est le minimum de $E$ pour la relation $\preceq$, il vient que $M\preceq A$. Due to l’antisymétrie de $\preceq$, en déduit que $A=M$. Ce qui implique que $M$ est un élément minimal de $E$.
2- S’il y a un autre élément minimal $M’$, dans E, alors\begin{align*}M={\rm Min}(E)\preceq M’\;\Longrightarrow\;M’=M.\end{align*}Donc E admet un unique élément minimal qui est le minimum de $E$.
Remarque: Ce résultat reste vraie si on remplace le minimum (resp. minimal) par maximum (resp. maximal).
