On propose des exercices sur les relations d’ordre. On peux donc comparer les éléments d’un ensemble. Cela permet de déterminer le plus petit et le plus grand élément des ensembles totalement ordonnés. En effet il faut savoir qu’il y a des ensembles qui ne sont pas ordonnés; comme l’ensemble des nombres complexes. Les relations d’ordre sont une partie importante de la théorie des ensembles.
Sélection d’exercices sur les relations d’ordre
Exercice: Soit $E:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ l’ensemble des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On considère la relation $\preceq$ définie sur $E$ par: pour tout $f,g\in E$,\begin{align*}f\preceq g \;\Longleftrightarrow \;\forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)\le g(x).\end{align*}
- Montrer que $\preceq$ est une relation d’ordre sur $E$. Cet ordre est-il partiel? total?
- Interpréter $\prec$ pour un couple quelconque $(f,g)\in E^2$.
- Donner des exemples d’applications $f$ et $g$ de $E$ satisfaisant $f \prec g$.
- Soit $(f,g)\in E^2$. A-t-on l’équivalent\begin{align*}f \prec g \;\Longleftrightarrow \; (f(x) < g(x),\;\forall x\in\mathbb{R})?\end{align*}
Solution:
- Soit $f\in E$. Pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f(x)\le f(x)$. Donc $f\preceq f,$ c’est-à-dire $\preceq$ est reflexive. Soient maintenant $f,g\in E$ tels que $f\preceq g$ et $g\preceq f$. Donc on a à la fois $f(x)\le g(x)$ et $g(x)\le f(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. Donc $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. C e qui donne $f=g,$ c’est-à-dire $\preceq$ est antisymétrique. Finalement, soient $f,g$ et $h$ des éléments de $E$ tels que $f\preceq g$ et $g\preceq h$. Alors pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f(x)\le g(x)$ et $g(x)\le h(x),$ ce qui implique que $f(x)\le h(x)$. Ainsi $f\preceq h$, ce qui signifie que $\preceq$ est transitive. Donc elle définit bien une relation d’ordre. D’autre part, l’ordre $\preceq$ est évidemment un ordre partiel. En effet, soient $f$ et $g$ deux applications dans $E$ tels que\begin{align*}f(0)=1,\;g(0)=-1,\;f(1)=-1,\;text{et}\;g(1)=0.\end{align*}Alors, on voit que ni $f\preceq g$ ni $g\preceq f$.
- Pour $(f,g)\in E^2$ on a $f\prec g$ si et seulement si ($f\preceq g$ et $f\neq g$) si et seulement si $f(x)\le g(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ et il existe $x_0\in\mathbb{R}$ avec $f(x_0)\neq g(x_0)$ (i.e. $f(x_0) < g(x_0)$).
- Soient $f$ et $g$ définies $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}^\ast_-$, et $f(x)=|x|,\;g(x)=e^x$ pour tout $x\in\mathbb{R}_+$. On a évidement $f\prec g$.
- L’implication ($\Longleftarrow$) est toujours vraie. Pour l’autre implication, dans l’exemple fourni dans la question précédente, on voit que $f\prec g$ au moment où pour tout $x$ négatif $f(x)=g(x)$. Ainsi les deux assestions ne sont pas équivalentes.
Éléments minimale et maximale
Dans l’exercice suivant nous traitons de la notion d’éléments maximal et minimal pour une relation d’ordre.
Exercice: Un élément $M$ (resp. $m$) d’un ensemble ordonné $(E,\preceq)$ est dit maximal (resp. minimal) si et seulement si pour tout $x\in E,$ \begin{align*}M \preceq x\;\Longrightarrow\; x=M\quad (\text{resp.} x \preceq m\;\Longrightarrow\; x=m).\end{align*}Soit $(E,\preceq)$ un ensemble partiellement ordonné.
- Montrer que si $E$ admet un plus petit élément, alors $E$ admet un élément minimal.
- Cet élément minimal est-il unique?
Solution:
- Supposons que le minimum de $E$ existe, et notons $M$ cet élément. Soit $A$ un élément de $E$ tel que $A \preceq M$. Comme $M$ est le minimum de $E$ pour la relation $\preceq$, il vient que $M\preceq A$. Due to l’antisymétrie de $\preceq$, en déduit que $A=M$. Ce qui implique que $M$ est un élément minimal de $E$.
- S’il y a un autre élément minimal $M’$, dans E, alors\begin{align*}M={\rm Min}(E)\preceq M’\;\Longrightarrow\;M’=M.\end{align*}Donc E admet un unique élément minimal qui est le minimum de $E$.
Remarque: Ce résultat reste vraie si on remplace le minimum (resp. minimal) par maximum (resp. maximal).
