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Exercices sur les matrices

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Le chapitre sur les matrices est le plus préféré des étudiants, car les exercices sur les matrices sont souvent simples sauf dans certains cas. Nous vous proposons ici des méthodes pour le calcul matriciel, en particulier le calcul de l’inverse et des puissances des matrices.

Selection d’ exercices sur les matrices

Il est important de savoir faire le produit de deux matrices, calculer l’exponentielle d’une matrice et montrer qu’une matrice est inversible. Cela vous aidera, par exemple, à résoudre des systèmes linéaires ainsi que des systèmes d’équations différentielles. Aussi ce chapitre est important pour la réduction des matrices.

Exercice: On considère les matrices suivantes $$ A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&-1\\1&1&-1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}. $$

  1. Calculer les produits matriciels $A^2,\;AB,\;B^2$ et $(A-B)^2$.
  2. L’identité remarquable $$ (A-B)^2=A^2-2AB+B^2 $$ est-elle vraie dans l’espace des matrice $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$?
  3. Décrire l’application linéaire $f$ canoniquement associée à $A$. La matrice $A$ est-elle inversible?
  4.  Pour tout endomorphisme $g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ on note $g^2$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ $g\circ g$. L’identité remarquable $$(f-g)^2=g^2-2(f\circ g)+g^2 $$ est-elle vraie dans $\mathcal{\mathbb{R}^3},$ l’espace des endomorphisme de $\mathbb{R}^3$.

Solution: La formule de Grassman: pour tous sous espaces $F_1$ et $F_2$ d’un espace vectoriel $F$ de dimension finie on a $$\dim(F_1+F_2)=\dim(F_1)+\dim(F_2) -\dim(F_1\cap F_2). $$

  1. Un calcul simple de produit de deux matrices nous donne\begin{align*}& A^2=\begin{pmatrix}3&-1&1\\-3&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix},\quad B^2=\begin{pmatrix}2&2&1\\2&2&2\\0&0&1\end{pmatrix},\cr & AB=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\2&2&0\end{pmatrix},\quad (A-B)^2=\begin{pmatrix}5&1&2\\-2&2&2\\-4&-4&3\end{pmatrix}.\end{align*}
  2. D’après le calcul de la question 1, on trouve facilement\begin{align*}A^2-2AB+B^2=\begin{pmatrix}5&1&2\\-1&3&-1\\-5&-5&2\end{pmatrix}.\end{align*}Alors on voit que $$ (A-B)^2\neq A^2-2AB+B^2.$$ Remarque: A cause de la non-commutativité du produit matriciel, les identités remarqubales ne sont pas valables sur l’espace des matrices $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ pour $n\in\{2,3,\cdots\}$. Par contre $$ (A-B)^2=A^2-AB-BA+B^2. $$ Donc l’identité remarquable est vraie si $A$ et $B$ commutent entre elles.
  3. Soit $B_c=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$. Soit $f$ l’application linéaire associée à $A$ dans la base $B_c$, donc\begin{align*}A={\rm mat}_{B_c}(f)=\begin{pmatrix} f(e_1)& f(e_2)& f(e_3)\end{pmatrix}.\end{align*}Alors $f$ est déterminée par les images des vecteurs de la base $B_c$:\begin{align*}f(e_1)&=e_1-e_2+e_3\cr f(e_2)&=-e_1+e_2+e_3\cr f(e_3)&=e_1-e_2-e_3.\end{align*}Maintenant calculons $f(x)$ pour tout $x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3$. Dans la base $B_c$ on a $x=x_1 e_1+x_2 e_2+x_3 e_3$. Comme $f$ est linéaire, alors\begin{align*}f(x)&=x_1 f(e_1)+x_2 f(e_2)+x_3 f(e_3)\cr &= x_1 (e_1-e_2+e_3)+x_2 (-e_1+e_2+e_3)+x_3 (e_1-e_2-e_3)\cr &= (x_1-x_2+x_3)e_1+(-x_1+x_2-x_3)e_2+(x_1+x_2-x_3)e_3.\end{align*}Par suite pour tout $(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3$ on a \begin{align*}f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3,-x_1+x_2-x_3,x_1+x_2-x_3).\end{align*}
  4. On sait que $A$ est inversible si et seulement si $f$ est bijective. Comme $\mathbb{R}^3$ est de dimension finie et $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3,$ alors $A$ est inversible si et seulement si $f$ est injective si et seulement si le noyau de $f$ est réduit qu vecteur nul. Déterminant $\ker(f)$. On\begin{align*}x=(x_1,x_2,x_3)\in \ker(f) &\Longleftrightarrow f(x)=0_{\mathbb{R}^3}\cr &\Longleftrightarrow \begin{cases}x_1-x_2+x_3=0,\cr -x_1+x_2-x_3=0,\cr x_1+x_2-x_3=0\end{cases}\cr &\Longleftrightarrow x_1=0,\; x_2=x_3\cr &\Longleftrightarrow x\in {\rm Vect}\left((0,1,1)\right).\end{align*}Donc \begin{align*}\ker(f)={\rm Vect}\left((0,1,1)\right)\neq \left\{0_{\mathbb{R}^3}\right\}.\end{align*}D’où $f$ n’est pas injectif et par conséquent $A$ n’est pas inversible. On note par $A={\rm mat}_{B_c}(f)$ et $B={\rm mat}_{B_c}(g)$. Il est claire que \begin{align*}A^2&={\rm mat}_{B_c}(f^2)\cr B^2&={\rm mat}_{B_c}(g^2)\cr AB&={\rm mat}_{B_c}(f\circ g)\cr (A-B)^2&={\rm mat}_{B_c}((f-g)^2).\end{align*}D’après la question 2, on a $$ (f-g)^2\neq g^2-2f\circ g+g^2. $$

Exercice: Soit la suite récurrente $(u_n)$,\begin{align*}\tag{R} u_{n+p}=a_0 u_n+a_1 u_{n+1}+\cdots+a_{p-1}u_p,\end{align*}avec $p\in\mathbb{N}$ et $(a_0,a_1,\cdots,a_{p-1})\in \mathbb{R}^n$. On pose\begin{align*}U_n:=\begin{pmatrix}u_n\\ u_{n+1}\\ \vdots \\ u_{n+p-1}\end{pmatrix},\quad n\in\mathbb{N}\end{align*}Montrer que la relation (R) est vérifiée si et seulement si il existe une matrice carrée $A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R}),$ d’ordre $p,$ telle que $U_n=A^n U_0$ pour tout $n$.

Solution: Soit la matrice \begin{align*}A=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\0&\ldots&0&0&1\\a_0&a_1&\cdots&a_{p-2}&a_{p-1} \end{pmatrix}.\end{align*}Il est facile de montrer que $U_{n+1}=AU_n$ for tout $n\in\mathbb{N}$ si et seulement si la condition (R) est satisfait. D’autre part, par récurrence en montrer que $U_n=A^n U_0$ pour tout $n$. On remarque alors que la connaissance de $A^n$ permet de calculer $U_n$ et en particulier $u_n$.

 Puissances de Matrices 

 
Exercice: Soit $x\in\mathbb{R}$ et on pose \begin{align*}\mathscr{A}_x=\begin{pmatrix}\cos(x)&-\sin(x)\\\sin(x)&\cos(x)\end{pmatrix}.\end{align*}
Calculer  $\mathscr{A}_x^n$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.
Solution:  Pour tour $x,y\in\mathbb{R}$ on a \begin{align*}\mathscr{A}_x\mathscr{A}_y&=\begin{pmatrix}\cos(x)&-\sin(x)\\\sin(x)&\cos(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(y)&-\sin(y)\\\sin(y)&\cos(y)\end{pmatrix}\cr &= \begin{pmatrix}\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)&-(\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y))\\\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)&\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\end{pmatrix}\cr &=\begin{pmatrix}\cos(x+y)&-\sin(x+y)\\\sin(x+y)&\cos(x+y)\end{pmatrix}\cr &= \mathscr{A}_{x+y}.\end{align*}
Ici, nous avons utilisé les identités trigonométriques. En particulier, $\mathscr{A}_x\mathscr{A}_x=\mathscr{A}_{2x}$. Maintenant par reccurence sur $n\in\mathbb{N},$ on a aussi \begin{align*}\mathscr{A}^n_x=\mathscr{A}_{nx}.\end{align*} Remarquons que $\mathscr{A}_x\mathscr{A}_{-x}=\mathscr{A}_{-x}\mathscr{A}_x=\mathscr{A}_0=I_2$ avec $I_2$ la matrice d’identité dans $\mathbb{R}^2$.  Ainsi, pour tout $x,$ la matrice $\mathscr{A}_x$ est inverse et $\mathscr{A}_x^{-1}=\mathscr{A}_{-x}$. Par suite \begin{align*}\mathscr{A}_x^{-n}=\left(\mathscr{A}_x^{-1}\right)^n=\mathscr{A}_{-x}^n=\mathscr{A}_{-nx}\end{align*}
pour tout $n\in\mathbb{N}$.  Finalement, pour tout $n\in\mathbb{Z} on a $\begin{align*}\mathscr{A}^n_x=\mathscr{A}_{nx}=\begin{pmatrix}\cos(nx)&-\sin(nx)\\\sin(nx)&\cos(nx)\end{pmatrix}. \end{align*}

Exercice: Soit la matrice carrée d’ordre $n,$\begin{align*}A=\begin{pmatrix}a&b& & \\&a&\ddots& \\ & & \ddots&b\\ && &a \end{pmatrix}\end{align*}(avec le vide dans la matrice se sont des zéro). Calculer la puissance $A^m$ avec $m\in\mathbb{N}$.

Solution: Soit $I$ la matrice identité (matrice diagonale avec $1$ sur la diagonale ) et soit la matrice\begin{align*}J:=\begin{pmatrix}0&1& & \\&0&\ddots& \\ & & \ddots&1\\ && &0 \end{pmatrix}\end{align*}Il est claire que $J^{n-1}=0$ et que $A=a I+b J$. Puisque les matrice $a I$ et $b J$ commutent alors on peut utiliser la formule du binôme\begin{align*}A^m&=(a I+b J)^m\cr & = \sum_{k=0}^m C^k_m (a I)^k (b J)^{m-k}\cr & = \sum_{k=0}^m C^k_m a^k b^{m-k} J^{m-k}.\end{align*}

Exercices sur les matrices inversibles

Une matrice carrée $A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$ est inversible si pour tout $y\in\mathbb{C}^n,$ il existe un seule $x\in\mathbb{C}^n$ tel que $Ax=y$. Il est bien connu qu’une matrice $A$ est inverstible si et seulement si $\det(A)\neq 0$.

Exercice:

  1. Soient $a,b\in\mathbb{C}$. Si $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est une matrice vérifiant $M^2+aM+b I_n=0,$ trouver une condition nécessaire et suffisante sur $a$ et $b$ pour que $M$ soit inversible.
  2. Soient $n\in\mathbb{N}^\ast$ et $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$. On pose\begin{align*}A=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\cdots&\beta\\\beta&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\beta\\\beta&\cdots&\beta&\alpha\end{pmatrix}\end{align*}La matrice $A$ est-elle inversible? Si oui, trouver son inverse. Indication: on posera $J=(1)_{1\le i,j\le n}$ et on calculera $J^2$.

Solution:

  1. Si $a=0$ alors on a $M^2=-b I_n$, et donc $M$ sera inverible si $b\neq 0$. Si $a\neq 0,$ on a alors $M(M+aI_n)=-bI_n$. Si $b=0$, alors $M$ et $M+aI_n$ ne sont pas inversible sauf si $M=-aI_n$. Dans ce cas $M$ est inversible. Si $b\neq 0$ alors $M$ est inversible.
  2. Soit $J$ la matrice carrée former que des $1$. Un calcul simple de produit de matrices montre que $J^2=nJ$. D’autre part, on peut reécrire $A$ comme\begin{align*}\tag{$\ast$}A=(\alpha-\beta)I_n+\beta J.\end{align*}On a \begin{align*}\tag{$\ast\ast$}A^2=(\alpha-\beta)^2 I_n+(2(\alpha-\beta)\beta+n\beta^2)J.\end{align*}On multiplie les deux cotés de $(\ast)$ par $2(\alpha-\beta)+n\beta$, on déduit que\begin{align*}(2(\alpha-\beta)\beta+n\beta^2)J= (2(\alpha-\beta)+n\beta)A-(\alpha-\beta)(2(\alpha-\beta)+n\beta)I_n.\end{align*}Maintenant, en remplace cette valeur dans $(\ast\ast)$, on trouve\begin{align*}A \left(A-(2(\alpha-\beta)+n\beta)I_n\right)=-(\alpha-\beta)(\alpha+(n-1)\beta)I_n.\end{align*}Ainsi $A$ is inversible si et seulement si $\alpha\neq \beta$ et $\alpha+(n-1)\beta\neq 0$. Dans ce cas,\begin{align*}A^{-1}=A-(2(\alpha-\beta)+n\beta)I_n.\end{align*}
Exercice: Deux matrice $A$ et $B$ sont semblables si il existe une matrice inversible $P$ telle que $B=P^{-1}AP$. Montrer que dans cas on a $B^n=P^{-1}A^nP$ pour tout $n,$ et que $\det(B)=\det(A)$. Est ce que les matrices suivantes on semblables
\begin{align*}M&=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&0\\0&3&5\end{pmatrix}\cr N&=\begin{pmatrix}0&1&3\\1&4&2\\1&0&3\end{pmatrix}.\end{align*}
Solution:  On a $B^2=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)=P^{-1}A(PP^{-1})AP=P^{-1}A^2P$. Par recuurence, on suppose que $B^n=P^{-1}A^nP$. Alors $B^{n+1}=B^n B=(P^{-1}A^nP)(P^{-1}AP)=P^{-1}A^{n+1}P$.
On sait que le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants de ces matrices. Donc si les matrices $A$ et $B$ sont semblables, alors \begin{align*}\det(B)&=\det(P^{-1}AP)=\det(P^{-1})\det(A)\det(P)\cr &= \det(A)\det(P^{-1}P)=\det(A)\det(I)=\det(A),\end{align*} car le le déterminant de la matrice identite $I$  égal a $1$.
Comme $\det(M)=11$ et $\det(N)=-13,$ alors $\det(M)\neq \det(N),$ et par suite les matrices $M$ et $N$ ne sont pas semblables.
Exercice: Soit $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ (avec $n\ge 2$) donner par \begin{align*} \forall i\in\{1,2,\cdots,n\},\quad a_{ji}=\begin{cases}i,& i=j,\cr 1,& i>j,\cr 0,& i<j.\end{cases}\end{align*}Montrer que $A$ est inversible et calculuer son inverse. 

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