Exercices corrigés sur les matrices et applications

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Exercices corrigés sur les matrices sont proposés. On offre des idées simple sur le calcul matriciel; calcul d'l’inverse et puissances de matrices, et la résolution des systèmes linéaires. C’est le programme de la première année de l’université toutes les filières.

Exercice: On considère les matrices suivantes $$ A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&-1\\1&1&-1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}. $$

  1. Calculer les produits matriciels $A^2,\;AB,\;B^2$ et $(A-B)^2$.
  2. L’identité remarquable $$ (A-B)^2=A^2-2AB+B^2 $$ est-elle vraie dans l’espace des matrice $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$?
  3. Décrire l’application linéaire $f$ canoniquement associée à $A$. La matrice $A$ est-elle inversible?
  4. 4- Pour tout endomorphisme $g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ on note $g^2$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ $g\circ g$. L’identité remarquable $$(f-g)^2=g^2-2(f\circ g)+g^2 $$ est-elle vraie dans $\mathcal{\mathbb{R}^3},$ l’espace des endomorphisme de $\mathbb{R}^3$.


Solution: La formule de Grassman: pour tous sous espaces $F_1$ et $F_2$ d’un espace vectoriel $F$ de dimension finie on a $$\dim(F_1+F_2)=\dim(F_1)+\dim(F_2) -\dim(F_1\cap F_2). $$

  1. Un calcul simple de produit de deux matrices nous donne\begin{align*}& A^2=\begin{pmatrix}3&-1&1\\-3&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix},\quad B^2=\begin{pmatrix}2&2&1\\2&2&2\\0&0&1\end{pmatrix},\cr & AB=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\2&2&0\end{pmatrix},\quad (A-B)^2=\begin{pmatrix}5&1&2\\-2&2&2\\-4&-4&3\end{pmatrix}.\end{align*}
  2. D’après le calcul de la question 1, on trouve facilement\begin{align*}A^2-2AB+B^2=\begin{pmatrix}5&1&2\\-1&3&-1\\-5&-5&2\end{pmatrix}.\end{align*}Alors on voit que $$ (A-B)^2\neq A^2-2AB+B^2.$$ Remarque: A cause de la non-commutativité du produit matriciel, les identités remarqubales ne sont pas valables sur l’espace des matrices $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ pour $n\in\{2,3,\cdots\}$. Par contre $$ (A-B)^2=A^2-AB-BA+B^2. $$ Donc l’identité remarquable est vraie si $A$ et $B$ commutent entre elles.
  3. Soit $B_c={e_1,e_2,e_3}$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$. Soit $f$ l’application linéaire associée à $A$ dans la base $B_c$, donc\begin{align*}A={\rm mat}_{B_c}(f)=\begin{pmatrix} f(e_1)& f(e_2)& f(e_3)\end{pmatrix}.\end{align*}Alors $f$ est déterminée par les images des vecteurs de la base $B_c$:\begin{align*}f(e_1)&=e_1-e_2+e_3\cr f(e_2)&=-e_1+e_2+e_3\cr f(e_3)&=e_1-e_2-e_3.\end{align*}Maintenant calculons $f(x)$ pour tout $x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3$. Dans la base $B_c$ on a $x=x_1 e_1+x_2 e_2+x_3 e_3$. Comme $f$ est linéaire, alors\begin{align*}f(x)&=x_1 f(e_1)+x_2 f(e_2)+x_3 f(e_3)\cr &= x_1 (e_1-e_2+e_3)+x_2 (-e_1+e_2+e_3)+x_3 (e_1-e_2-e_3)\cr &= (x_1-x_2+x_3)e_1+(-x_1+x_2-x_3)e_2+(x_1+x_2-x_3)e_3.\end{align*}Par suite pour tout $(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3$ on a \begin{align*}f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3,-x_1+x_2-x_3,x_1+x_2-x_3).\end{align*}
  4. On sait que $A$ est inversible si et seulement si $f$ est bijective. Comme $\mathbb{R}^3$ est de dimension finie et $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3,$ alors $A$ est inversible si et seulement si $f$ est injective si et seulement si le noyau de $f$ est réduit qu vecteur nul. Déterminant $\ker(f)$. On\begin{align*}x=(x_1,x_2,x_3)\in \ker(f) &\Longleftrightarrow f(x)=0_{\mathbb{R}^3}\cr &\Longleftrightarrow \begin{cases}x_1-x_2+x_3=0,\cr -x_1+x_2-x_3=0,\cr x_1+x_2-x_3=0\end{cases}\cr &\Longleftrightarrow x_1=0,\; x_2=x_3\cr &\Longleftrightarrow x\in {\rm Vect}\left((0,1,1)\right).\end{align*}Donc \begin{align*}\ker(f)={\rm Vect}\left((0,1,1)\right)\neq \left\{0_{\mathbb{R}^3}\right\}.\end{align*}D’où $f$ n’est pas injectif et par conséquent $A$ n’est pas inversible. On note par $A={\rm mat}_{B_c}(f)$ et $B={\rm mat}_{B_c}(g)$. Il est claire que \begin{align*}A^2&={\rm mat}_{B_c}(f^2)\cr B^2&={\rm mat}_{B_c}(g^2)\cr AB&={\rm mat}_{B_c}(f\circ g)\cr (A-B)^2&={\rm mat}_{B_c}((f-g)^2).\end{align*}D’après la question 2, on a $$ (f-g)^2\neq g^2-2f\circ g+g^2. $$

Exercice: Soit la suite récurrente $(u_n)$,\begin{align*}\tag{R} u_{n+p}=a_0 u_n+a_1 u_{n+1}+\cdots+a_{p-1}u_p,\end{align*}avec $p\in\mathbb{N}$ et $(a_0,a_1,\cdots,a_{p-1})\in \mathbb{R}^n$. On pose\begin{align*}U_n:=\begin{pmatrix}u_n\\ u_{n+1}\\ \vdots \\ u_{n+p-1}\end{pmatrix},\quad n\in\mathbb{N}\end{align*}Montrer que la relation (R) est vérifiée si et seulement si il existe une matrice carrée $A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R}),$ d’ordre $p,$ telle que $U_n=A^n U_0$ pour tout $n$.


Solution: Soit la matrice \begin{align*}A=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\0&\ldots&0&0&1\\a_0&a_1&\cdots&a_{p-2}&a_{p-1} \end{pmatrix}.\end{align*}Il est facile de montrer que $U_{n+1}=AU_n$ for tout $n\in\mathbb{N}$ si et seulement si la condition (R) est satisfait. D’autre part, par récurrence en montrer que $U_n=A^n U_0$ pour tout $n$. On remarque alors que la connaissance de $A^n$ permet de calculer $U_n$ et en particulier $u_n$.

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