Exercices corrigés sur le calcul matriciel

exercices-corriges-les-matrices


On propose des exercices corrigés sur le calcul matriciel. En effet, les exercices corrigés sur les matrices sont à la fois pratiques et théoriques. 

Exercices corrigés sur le calcul matriciel

Il est important de savoir faire le produit de deux matrices, calculer l'exponentielle d'une matrice et montrer qu'une matrice est inversible. Cela vous aidera, par exemple, à résoudre des systèmes algébriques ainsi que des systèmes d'équations différentielles.  Aussi ce chapitre est important pour la reduction des matrices.

1. Sur les puissance de matrices

Exercice: Soit $x\in\mathbb{R}$ et on pose \begin{align*}\mathscr{A}_x=\begin{pmatrix}\cos(x)&-\sin(x)\\\sin(x)&\cos(x)\end{pmatrix}.\end{align*}
Calculer  $\mathscr{A}_x^n$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.

Solution:  Pour tour $x,y\in\mathbb{R}$ on a \begin{align*}\mathscr{A}_x\mathscr{A}_y&=\begin{pmatrix}\cos(x)&-\sin(x)\\\sin(x)&\cos(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(y)&-\sin(y)\\\sin(y)&\cos(y)\end{pmatrix}\cr &= \begin{pmatrix}\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)&-(\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y))\\\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)&\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\end{pmatrix}\cr &=\begin{pmatrix}\cos(x+y)&-\sin(x+y)\\\sin(x+y)&\cos(x+y)\end{pmatrix}\cr &= \mathscr{A}_{x+y}.\end{align*}
Ici, nous avons utilisé les identités trigonométriques. En particulier, $\mathscr{A}_x\mathscr{A}_x=\mathscr{A}_{2x}$. Maintenant par reccurence sur $n\in\mathbb{N},$ on a aussi \begin{align*}\mathscr{A}^n_x=\mathscr{A}_{nx}.\end{align*} Remarquons que $\mathscr{A}_x\mathscr{A}_{-x}=\mathscr{A}_{-x}\mathscr{A}_x=\mathscr{A}_0=I_2$ avec $I_2$ la matrice d'identité dans $\mathbb{R}^2$.  Ainsi, pour tout $x,$ la matrice $\mathscr{A}_x$ est inverse et $\mathscr{A}_x^{-1}=\mathscr{A}_{-x}$. Par suite \begin{align*}\mathscr{A}_x^{-n}=\left(\mathscr{A}_x^{-1}\right)^n=\mathscr{A}_{-x}^n=\mathscr{A}_{-nx}\end{align*}
pour tout $n\in\mathbb{N}$.  Finalement, pour tout $n\in\mathbb{Z} on a $\begin{align*}\mathscr{A}^n_x=\mathscr{A}_{nx}=\begin{pmatrix}\cos(nx)&-\sin(nx)\\\sin(nx)&\cos(nx)\end{pmatrix}. \end{align*}

Exercice: Soit la matrice carrée d’ordre $n,$\begin{align*}A=\begin{pmatrix}a&b& & \\&a&\ddots& \\ & & \ddots&b\\ && &a \end{pmatrix}\end{align*}(avec le vide dans la matrice se sont des zéro). Calculer la puissance $A^m$ avec $m\in\mathbb{N}$.

Solution: Soit $I$ la matrice identité (matrice diagonale avec $1$ sur la diagonale ) et soit la matrice\begin{align*}J:=\begin{pmatrix}0&1& & \\&0&\ddots& \\ & & \ddots&1\\ && &0 \end{pmatrix}\end{align*}Il est claire que $J^{n-1}=0$ et que $A=a I+b J$. Puisque les matrice $a I$ et $b J$ commutent alors on peut utiliser la formule du binôme\begin{align*}A^m&=(a I+b J)^m\cr & = \sum_{k=0}^m C^k_m (a I)^k (b J)^{m-k}\cr & = \sum_{k=0}^m C^k_m a^k b^{m-k} J^{m-k}\end{align*}


2. Sur les matrices inversibles

Une matrice carrée $A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$ est inversible si pour tout $y\in\mathbb{C}^n,$ il existe un seule $x\in\mathbb{C}^n$ tel que $Ax=y$. Il est bien connu qu'une matrice $A$ est inverstible si et seulement si $\det(A)\neq 0$. 

Exercice:

  1. Soient $a,b\in\mathbb{C}$. Si $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est une matrice vérifiant $M^2+aM+b I_n=0,$ trouver une condition nécessaire et suffisante sur $a$ et $b$ pour que $M$ soit inversible.
  2. Soient $n\in\mathbb{N}^\ast$ et $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$. On pose\begin{align*}A=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\cdots&\beta\\\beta&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\beta\\\beta&\cdots&\beta&\alpha\end{pmatrix}\end{align*}La matrice $A$ est-elle inversible? Si oui, trouver son inverse. Indication: on posera $J=(1)_{1\le i,j\le n}$ et on calculera $J^2$.

Solution:

  1. Si $a=0$ alors on a $M^2=-b I_n$, et donc $M$ sera inverible si $b\neq 0$. Si $a\neq 0,$ on a alors $M(M+aI_n)=-bI_n$. Si $b=0$, alors $M$ et $M+aI_n$ ne sont pas inversible sauf si $M=-aI_n$. Dans ce cas $M$ est inversible. Si $b\neq 0$ alors $M$ est inversible.
  2. Soit $J$ la matrice carrée former que des $1$. Un calcul simple de produit de matrices montre que $J^2=nJ$. D’autre part, on peut reécrire $A$ comme\begin{align*}\tag{$\ast$}A=(\alpha-\beta)I_n+\beta J.\end{align*}On a \begin{align*}\tag{$\ast\ast$}A^2=(\alpha-\beta)^2 I_n+(2(\alpha-\beta)\beta+n\beta^2)J.\end{align*}On multiplie les deux cotés de $(\ast)$ par $2(\alpha-\beta)+n\beta$, on déduit que\begin{align*}(2(\alpha-\beta)\beta+n\beta^2)J= (2(\alpha-\beta)+n\beta)A-(\alpha-\beta)(2(\alpha-\beta)+n\beta)I_n.\end{align*}Maintenant, en remplace cette valeur dans $(\ast\ast)$, on trouve\begin{align*}A \left(A-(2(\alpha-\beta)+n\beta)I_n\right)=-(\alpha-\beta)(\alpha+(n-1)\beta)I_n.\end{align*}Ainsi $A$ is inversible si et seulement si $\alpha\neq \beta$ et $\alpha+(n-1)\beta\neq 0$. Dans ce cas,\begin{align*}A^{-1}=A-(2(\alpha-\beta)+n\beta)I_n.\end{align*}
Exercice: Deux matrice $A$ et $B$ sont semblables si il existe une matrice inversible $P$ telle que $B=P^{-1}AP$. Montrer que dans cas on a $B^n=P^{-1}A^nP$ pour tout $n,$ et que $\det(B)=\det(A)$. Est ce que les matrices suivantes on semblables
\begin{align*}M&=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&0\\0&3&5\end{pmatrix}\cr N&=\begin{pmatrix}0&1&3\\1&4&2\\1&0&3\end{pmatrix}.\end{align*}
 
Solution:  On a $B^2=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)=P^{-1}A(PP^{-1})AP=P^{-1}A^2P$. Par recuurence, on suppose que $B^n=P^{-1}A^nP$. Alors $B^{n+1}=B^n B=(P^{-1}A^nP)(P^{-1}AP)=P^{-1}A^{n+1}P$.

On sait que le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants de ces matrices. Donc si les matrices $A$ et $B$ sont semblables, alors \begin{align*}\det(B)&=\det(P^{-1}AP)=\det(P^{-1})\det(A)\det(P)\cr &= \det(A)\det(P^{-1}P)=\det(A)\det(I)=\det(A),\end{align*} car le le déterminant de la matrice identite $I$  égal a $1$.

Comme $\det(M)=11$ et $\det(N)=-13,$ alors $\det(M)\neq \det(N),$ et par suite les matrices $M$ et $N$ ne sont pas semblables. 

Exercice: Soit $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ (avec $n\ge 2$) donner par \begin{align*} \forall i\in\{1,2,\cdots,n\},\quad a_{ji}=\begin{cases}i,& i=j,\cr 1,& i>j,\cr 0,& i<j.\end{cases}\end{align*}Montrer que $A$ est inversible et calculuer son inverse. 

Enregistrer un commentaire

Post a Comment (0)

Plus récente Plus ancienne

ça peut vous intéresser