Sur l’intégration au sens de Lebesgue

Exercices corrigés d’intégration au sens de Lebesgue pour la licence de mathématiques. En particulier, des exercices sur la théorie des mesures et les applications des grands théorèmes d’intégration.

Exercice: Soit $X$ un ensemble et $\mathcal{M}$ une tribu dénombrable sur $X$. Pour chaque $x\in X$ on défini\begin{align*}A(x)=\bigcap\{F\in \mathcal{M}: x\in F\}.\end{align*}

  1. Vérifier que $A(x)\in\mathcal{M}$.
  2. Montrer que pour $x,x’\in X,$ soit $A(x)\cap A(x’)=\emptyset$ soit $A(x)=A(x’)$.
  3. Montrer que $\mathcal{M}$ est la tribu engendrée par une partition dénombrable. En déduire que $\mathcal{M}$ est fini.

Solution: 1- Comme $\mathcal{M}$ est dénombrable, alors $A(x)$ est une interstection dénombrable d’éléments de $\mathcal{M}$. Donc $A(x)\in\mathcal{M}$.

2- Soit $x,x’\in X$. Supposons que $x\in A(x’)$. Comme $A(x’)\in\mathcal{M},$ alors par définition de $A(x)$ on a $A(x)\subset A(x’)$ et donc $A(x)=A(x)\cap A(x’)$. En déduit donc, si $x\in A(x’)$ et $x’\in A(x)$ alors on a à la fois $A(x)\subset A(x’)$ et $A(x’)\subset A(x)$, d’où $A(x)= A(x’)$. Supposons que $x\notin A(x’)$. Alors $x\in A(x’)^c\in\mathcal{M}$. Donc $A(x)\subset A(x’)^c,$ et par suite on a $A(x)\cap A(x’)=\emptyset$. On a le même résultat si $x’\notin A(x)$.

3- Considérons l’ensemble \begin{align*}\mathcal{N}=\left\{ B\subset X,\;\exists\,x\in X,\;B=A(x)\right\}.\end{align*}C’est un sous-ensemble de $\mathcal{M},$ et donc dénombrable. D’après la question 2, Si $B\neq B’\in\mathcal{N},$ alors on a $B\cap B’=\emptyset$. On note alors $\mathcal{N}:={B_k:k\in J}$ avec $J$ un ensemble d’indices dénombrable. On $\mathcal{N}$ est une partition de $X$. En effet, si $X\neq \emptyset$ alors tous les $B_k$ sont non vide, $B_k\cap B_\ell=\emptyset$. De plus on a $X=\cup_{k\in J}B_k$ car si $x\in X,$ il existe $k\in J$ tel que $A(x)=B_k$. La tribu $\mathcal{M}$ contient donc la tribu engendré par $\mathcal{N}$, qui est non dénombrable si $J$ est infini. Donc $J$ est fini ainsi que la tribu engendrée par $\mathcal{N}$. De plus si $C\in \mathcal{M}$, on a\begin{align*}C=\cup_{x\in C} A(x).\end{align*}Ceci est due au fait que pour $x\in C$ on a $A(x)\subset C$ et $x\in A(x)$, par conséquent, $C$ est réunion dénombrable d’éléments de $\mathcal{N}$. La tribu $\mathcal{M}$ est donc la tribu engendrée par $\mathcal{N}$, qui est finie.

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