Exercices de diagonalisation des matrices

Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices. La diagonalisation fait partie de la réduction des endomorphismes.

Sélection d’exercices de diagonalisation des matrices

Exercice:

1. Soient $A$ et $B$ deux matrice carrées d’ordre $d$. De plus, soit $J$ une matrice carrée inversible d’ordre $d$ telle que \begin{align*}A=J B J^{-1}.\end{align*}Montrons que pour tout $ n\in \mathbb{N} $, on a:\begin{align*}A^{n}=JB^{n} J^{-1}.\end{align*}
2. \begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\end{align*}Calculer $ A^{n} $.

Solution:

1. Soient $ A,B $ et $ J $ trois matrices carrées avec $ J $ une matrice inversible, et telle que on a: $A=J B J^{-1}.$ Notons $ (P_n) $ la propriété à démontrer, et faisons un raisonnement par récurrence sur n. La propriété $ (P_1) $ est vraie par hypothèse. Supposons que, pour $ n $ entier naturel quelconque, $(P_n)$ soit vraie, et démontrons qu’alors $ (Pn+1) $ est vraie. On a:\begin{align*}A^{n+1}&= A^{n}A \cr &= (J B^{n}J^{-1})(JBJ^{-1})\cr &=J B^{n}B J^{-1} =J B^{n+1}J^{-1}.\end{align*}D’où par récurrence la propriété $(P_n)$ est donc démontrée pour tout entier naturel $n$.
2. Tout d’abord on diagonaliser la matrice\begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\end{align*}-c’est à dire- déterminons une matrice inversible $ J$ telle que $ J^{-1}AJ $ soit diagonal. Pour se faire, on calcule premièrement le polynôme caractéristique de $ A $ comme suit\begin{align*}P_{A}(X)&=\begin{vmatrix} X-1 & -1 & 0 \\ -1 & X-1 & -1 \\ 0 & 0 & X+1 \end{vmatrix} \cr &= (X-1) \begin{vmatrix} X-1 & -1 \\ 0 & X+1 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & X+1 \end{vmatrix}\cr &= X(X+1)(X-2).\end{align*}On constate que $ 0 ,-1$ et $ 2 $ sont trois racines simple du polynôme caractéristique $ P_{A} $. Il en résulte que la matrice $ A $ admet trois valeurs propres et qu’elle est diagonalisable. Après avoir compter les racines du polynôme caractéristique de la matrice $ A $, la deuxième étape est de déterminer les sous-espaces propres associées aux valeurs propres $ 0,-1 $ et $ 3 $. En effet, soit $ X= \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{pmatrix}^{\top}$ on a le sous-espace propre associée à $ 0 $ est donnée par: $$ AX=0. $$ On obtient\begin{align*}\begin{cases} x_{1}+x_{2 }= 0\\ x_{1}+x_{2 } + x_{3} =0\\- x_{3} = 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_{2}= – x_{1}\\x_{3} = 0 \end{cases}.\end{align*} On en déduit le sous-espace propre associée à la valeur propre $ 0 $:\begin{align*}E_{0}(A)=\text{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}\right\}.\end{align*}De même par un calcule similaire on trouve les sous-espaces propres associées aux valeurs propres $ -1 $ et $ 2 $, respectivement: \begin{align*}&E_{-1}(A)=\text{Vect}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\3 \end{pmatrix}\right\} \qquad \text{et } \cr & E_{2}(A)=\text{Vect}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}\right\}. \end{align*}
3. Les colonnes ainsi obtenu déterminent une base de vecteurs propres de l’endomorphisme canonique associé à $ A $. Considérons la matrice constituée par ces colonnes: $$ J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}. $$Observons que la matrice $ J $ est inversible car c’est la matrice de passage de la base canonique de $ \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}) $ à une base de vecteurs propres. Ainsi, la formule de changement de base donne: $$ A=J DJ^{-1}\qquad \text{avec} \qquad D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$Maintenant en appliquant l’affirmation de la question (1) on obtient: $$ A^{n}=JD^{n} J^{-1} \qquad \text{avec} \qquad D^{n}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 2^{n} \end{pmatrix}. $$ D’autre part, on a l’inverse de la matrice de passage $ J $ est donnée: $$ J=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}. $$ On en déduit: $$ A^{n}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 2^{n}.3 & 2^{n}.3 & (-1)^{n}.2+2^{n} \\ 2^{n}.3 & 2^{n}.3 & (-1)^{n}.(-4)+2^{n+1} \\ 0 & 0 & (-1)^{n}.6 \end{pmatrix}. $$

Voici un des exercices de diagonalisation des matrices qui utilise les suites récurrentes.

Exercice: Soit $ (u_{n}) $ une suite réelle vérifiant, pour tout $ n\in \mathbb{N} $, $$ u_{n+3}+3u_{n+2}-u_{n+1}-3u_{n}=0. $$ Pour tout $ n\in \mathbb{N} $, on pose \begin{align*}X_n=\begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\\u_{n+2}\end{pmatrix}.\end{align*}

1. Déterminer une matrice $A$ d’ordre $3$ tel que $ X_{n+1}=AX_{n}.$.
2. Diagonaliser la matrice $ A $ et en déduire une expression de $ A^{n} $ valable pour $ n\in\mathbb{N}$.
3. Exprimer $ u_{n} $ en fonction de $ u_{0},u_{1},u_{2} $ et de $ n\in \mathbb{N}$.

Solution: