Nous proposons des exercices corrigés sur les polynômes et fractions rationnelles. En particulier, la division de deux polynômes et les propriétés de l’anneau des polynômes.
Paquet d’exercices corrigés sur les polynômes
Exercice: Déterminer les entiers $n\in\mathbb{N}$ avec $n\ge 3$ tel que le polynômes\begin{align*}P_n=(X-1)^n-(X^n-1)\in \mathbb{C}[X]\end{align*}ait au moins un zéro d’ordre au moins $2$.
Solution: Pour avoir un zéro d’ordre au moins $2$ il faut que $P_n(z)=P’_n(z)=0$. Ce qui est équivalent à $(z-1)^n-z^n+1=0$ et $(z-1)^{n-1}=z^{n-1}$. La deuxième équation implique $z^n=z(z-1)^{n-1}$. En remplace $z^n$ dans la première équation on a alors $(z-1)^{n-1}=1$. Ainsi avoir un zéro d’ordre au moins $2$ il faut et il suffit que $z^{n-1}=(z-1)^{n-1}=1$. Pour résoudre cette équation complexe on pose\begin{align*}w=\frac{z}{z-1}.\end{align*}On a donc $w^{n-1}=1$. D’où il existe $k\in \{0,1,\cdots,n-1\}$ tel que $w=e^{\frac{2ik\pi}{n-1}}$. Il faut exclure $w=1$ car l’équation $\frac{z}{z-1}=1$ n’a pas de solution. Ainsi notre $k$ est dans l’ensemble $\{1,\cdots,n-1\}$. Par un calcul simple on a $|z|=1$ et\begin{align*}z=\frac{w}{w-1}&=\frac{e^{\frac{2ik\pi}{n-1}}}{e^{\frac{2ik\pi}{n-1}}-1}\cr & =\frac{e^{\frac{ik\pi}{n-1}}}{e^{\frac{ik\pi}{n-1}}-e^{\frac{-ik\pi}{n-1}}}\cr &= \frac{e^{\frac{ik\pi}{n-1}}}{2i s\in\left(\frac{k\pi}{n-1}\right)}.\end{align*}Pour que $|z|=1$ il faut choisir un $n$ tel que $s\in\left(\frac{k\pi}{n-1}\right)=\frac{1}{2}$, c’est à dire $\frac{k}{n-1}=\frac{1}{6},$ ou encore $n=6k+1$.
Exercice: Soit $\alpha\in\mathbb{R}^\ast,$ et $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé et à zéros tous simples. Montrer que les zéros dans $\mathbb{C}$ de $P^2+\alpha^2$ sont tous simples.
Solution: Raisonnement par l’absurde. Supposons que le polynôme $P^2+\alpha^2$ admet au moins un zéros double noté $z$. Donc la dérivée de $P^2+\alpha^2$ en $z$ est nulle, soit $P(z)P'(z)=0$. Par hypothèse $P(z)\neq 0$ car les zéros de $P$ sont tous simple. On a alors $P'(z)=0$. D’autre part, $P’$ est scindé sur $\mathbb{R}$ ( décomposable en facteurs de degré 1 sur $\mathbb{R}$), donc $z\in \mathbb{R}$. Contradiction car $P^2+\alpha^2$ n’admet de zéro réel.
Exercice: Soient $p,q\in \mathbb{N}^\ast$. On note $r$ le reste de la division euclidienne de $p$ et $q$ dans $\mathbb{Z}$. Démontrer que le reste de la division euclidienne dans $\mathbb{K}[X]$ de $X^p-1$ par $X^q-1$ est $X^r-1$.
Solution: La question est de chercher un polynôme $A\in \mathbb{K}[X]$ tel que $X^p-1=A(X^q-1)+X^r-1$. Ce qui est équivalent à $A (X^q-1)=X^p-X^r$. D’après la division euclidienne de $p$ par $q$, il existe $a$ entier tel que $p=aq+r$. On a donc \begin{align*}X^p-X^r=(X^a)^q X^r-X^r= X^r \left((X^p)^a-1\right).\end{align*}Comme \begin{align*}(X^p)^a-1= (X^q-1)\left((X^q)^{a-1}+\cdots+1\right).\end{align*}Alors Alors on prend $A=(X^q)^{a-1+r}+(X^q)^{a-2+r}+\cdots+X^r$.
D’autres exercices sur le polynôme scindé.
