Accueil Analyse Exercices corrigés sur les suites de fonctions

Exercices corrigés sur les suites de fonctions

579

On propose des exercices corrigés sur les suites de fonctions. Deux types de convergence, simple et uniforme. On rappel que la convergence uniforme implique la convergence simple. La réciproque n’est pas toujours vrai. Il faut aussi faite une différence entre suites de nombres réels et suites de fonctions.

Exercices corrigés sur les suites de fonctions: convergence simple et uniforme

Exercice: Etudier la convergence uniforme de la suite de fonction $(f_n)_n$ avec $f_n(x)=x^n$ pour tout $x\in [0,1]$ et $n\in \mathbb{N}$.

Solution: Pour tout $x\in [0,1[$ on a $f_n(x)\to 0$ quand $n\to+\infty$. D’autre part, comme $f_n(0)=1\to 1$ quand $n\to +\infty,$ alors $f_n$ converge simplement sur $[0,1]$ vers la fonction $f$ définie par \begin{align*}f(x)=\begin{cases}0,& x\in [0,1[,\cr 1,& x=1.\end{cases}\end{align*} La convergence n’est pas uniforme sur $[0,1]$, car sinon la fonction $f$ serait continue sur $[0,1],$ ce n’est pas le cas.

Exercice: Soient $\gamma > 0$ et $(f_n)_n$ une suite de fonctions numériques définies sur $[0,+\infty[$ par \begin{align*}f_n(x)=n^\gamma x e^{-n x}.\end{align*}Montrer que la suite de fonctions $(f_n)_n$ converge simplement vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}^+,$ et uniformément sur $[a,+\infty[$ pour tout réel $a>0$. Pour quelles valeurs de $\gamma$ la convergence est-elle uniforme sur $\mathbb{R}^+$ ?

Solution: Tout d’abord, pour $x=0$ on a $f_n(0)=0$ pour tout $n$. D’autre part, pour $x>0$ on a $f_n(x)>0$ et que\begin{align*}\ln(f_n(x))=\gamma \ln(n)-n x+\ln(x).\end{align*}Alors $\ln(f_n(x))\to -\infty$ quand $n\to +\infty$. Et donc $f_n(x)=e^{\ln(f_n(x))}\to 0$ quand $n\to +\infty$. Donc $(f_n)_n$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,+\infty[$. Pour étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions $(f_n)_n$, il faut discuter les variation de la fonction $x\mapsto f_n(x)$. Pour chaque $n$, la fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et que $f’_n(x)=n^\gamma (1-nx)e^{-n x}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. la fonction dérivée $f’_n$ s’annule au point $\frac{1}{n}$. La fonction $f_n$ est croissante sur $[0,\frac{1}{n}]$ est décroît vers $0$ sur $[ \frac{1}{n},+\infty[$.

Maintenant, soit $a>0$. $f_n$ sera décroissante sur $[a,+\infty[$ si $n\ge \frac{1}{a}$ et dans ce cas on a $0\le f_n(x)\le f_n(a)$ pour tout $x\ge a$. On a alors\begin{align*}0\le \sup_{x\ge a}f_n(x)\le f_n(a).\end{align*}Puisque $f_n(a)\to 0$ alors la suite $(f_n)_n$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[a,+\infty[$. On a\begin{align*}\sup_{x\in\mathbb{R}^+} f_n(x)= f_n\left(\frac{1}{n}\right)= \frac{n^{1-\gamma}}{e}.\end{align*}Ainsi pour que la suite de fonctions $(f_n)_n$ converge uniformément vers $0$ sur $\mathbb{R}^+$ il faut que $n^{1-\gamma}$ tend vers $0$ quand $n\to+\infty$, et donc il faut que $\gamma\in ]0,1[$.

Exercice: Soit la suite de fonctions $(f_n)_n$ telle que $f_n:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ $x\mapsto f_n(x)=e^{-nx}\arctan{nx}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions $(f_n)_n$ sur $\mathbb{R}^+,$ puis sur $[\alpha,+\infty[$, pour tout $\alpha>0$.

Solution: Tout d’abord déterminant la limite simple de cette suite de fonctions. Comme $|\arctan{y}|\le \frac{\pi}{2}$ pour tout $y\in\mathbb{R},$ alors $|f_n(x)|\le \frac{\pi}{2} e^{-nx},$ pour tout $x\in\mathbb{R}^+$. Il est claire maintenant que $f_n$ converge simplement vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}^+$. D’autre part, on pose $\psi(x)=e^{-y}\arctan(y)$. Ainsi $f_n(x)=\psi(nx)$. Comme $\mathbb{R}^+=n \mathbb{R}^+$, alors \begin{align*}\|f_n\|_\infty:=\sup_{x\in\mathbb{R}^+}|f_n(x)|=\sup_{x\in\mathbb{R}^+}|\psi(x)|>0.\end{align*}par suite, $(\|f_n\|_\infty)_n$ ne tend vers zéro, ce qui montre que la convergence vers la fonction nulle n’est uniforme sur $\mathbb{R}^+$. Par contre si on prend $\alpha>0,$ alors $|f_n(x)|\le \frac{\pi}{2} e^{-n\alpha},$ pour tout $x\ge \alpha$, et donc $\|f_n\|_\infty\le e^{-n\alpha}\to 0$ quand $n\to+\infty$. Donc $f_n$ converge uniformenemt vers la fonction nulle sur tout intervalle de la forme $[\alpha,+\infty[$ avec $\alpha>0$.

Exercice: Soit la suite de fonctions $f_n:[0,1]\to\mathbb{R},\;n\ge 0,$ définie par \begin{align*} f_n(x)=\begin{cases} n^2 x(1-nx),& x\in [0,\frac{1}{n}],\cr 0,& x\in]\frac{1}{n},1].\end{cases}\end{align*} Etudier la convergence uniforme de $(f_n)_n$ sur $[0,1]$ et sur $[\varepsilon,1]$ pour tout $\varepsilon>0$ assez petit.

Solution: Pour $x=0,$ on a $f_n(0)=0$. Pour $x\in ]0,1],$ il existe $N\in\mathbb{N},$ tel que $\frac{1}{N}<x$ (il suffit de prendre $N=E(1/x)+1$). Pour tout $n\ge N$, on a $\frac{1}{n}<x,$ et donc $f_n(x)=0$. Par suite la suite $f_n$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,1]$. Dans la suite nous montrons que cette convergence n’est pas uniforme sur $[0,1]$. Pour cela nous allons calculer l’intégrale de $f_n$. En effet, on a \begin{align*} \int^1_0 f_n(x)dx=\int^{\frac{1}{n}}_0 n^2 x(1-nx)dx=\frac{1}{6}.\end{align*} Si la convergence de $f_n$ vers la fonction nulle était uniforme, alors on peut inverser la limite et l’intégrale, et dans ce cas on aura $\frac{1}{6}=0$, ce n’est pas possible. D’autre part, pour tout $n>\frac{1}{\varepsilon}$ on a $\frac{1}{n}<\varepsilon$, donc pour tout $n>\frac{1}{\varepsilon}$ on a $f_n=0$ sur $[\varepsilon,1]$, ce qui implique \begin{align*} \sup_{x\in [\varepsilon,1]}|f_n(x)|=0,\quad \forall n>\frac{1}{\varepsilon}.\end{align*} Donc $f_n$ converge uniformement vers la fonction nulle sur $[\varepsilon,1]$.

Article précédentExercices sur les Sommes de Riemann généralisées
Article suivantProgramme d’algèbre général 1