Exercices corrigés sur les fonctions vectorielles 

Nous proposons des exercices corrigés sur les fonctions vectorielles. Ce sont des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé. En effet, un exemple de telles fonctions sont les solutions des problèmes de Cauchy en dimension infinie.

Une sélection d’exercices corrigés sur les fonctions vectorielles 

Exercice (Inégalités de Kolmogorov): Soient $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $f:\mathbb{R}\to E$ une fonction de classe $C^2$ bornée telle que $\ddot{f}$ est bornée. On note\begin{align*}M_0:=\sup\{\|f(x)\|:x\in\mathbb{R}\},\quad M_2:=\sup\{\|\ddot{f}(x)\|:x\in\mathbb{R}\}.\end{align*}

1. En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que pour $x\in \mathbb{R}$ et $h>0,$ on a\begin{align*} \|f'(x)\|\le \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}.\end{align*}
2. En déduire que $f’$ est bornée, et que\begin{align*}M_1:=\sup\{\|f'(x)\|:x\in\mathbb{R}\}\le 2\sqrt{M_0 M_1}.\end{align*}

Solution:

1. Vue que $f$ est une fonction de classe $C^2,$ alors la formule de Taylor avec reste intégral s’écrit: pour tous $x\in\mathbb{R}$ et $h>0,$\begin{align*}f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\int_x^{x+h} (x+h-t)\ddot{f}(t)dt.\end{align*}Alors la fonction dérivée $f’$ satisfait\begin{align*}\|f'(x)\|&=\frac{1}{h}\left\|(f(x+h)-f(x))- \int_x^{x+h} (x+h-t)\ddot{f}(t)dt\right\|\cr & \le \frac{1}{h}\left( \|f(x+h)\|+\|f(x)\|+\int_x^{x+h} (x+h-t)\|\ddot{f}(t)\|dt\right)\cr &\le \frac{1}{h} \left( 2M_0+M_2 \left[-\frac{(x+h-t)^2}{2}\right]^{x+h}_x\right)\cr & \le \frac{1}{h}\left( 2M_0+M_2 \frac{h^2}{2}\right)=\frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}.\end{align*}
2. Soit la fonction\begin{align*}\varphi(h)= \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2},\qquad \forall h>0.\end{align*}Cette fonction est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $\varphi'(t)=-\frac{2M_0}{h^2}+\frac{hM_2}{2}$. La fonction dérivée $\varphi’$ s’annule en $h_0=2\sqrt{\frac{M_0}{M_2}}$. On montre facilement que la fonction \varphi admet un minimum en $h_0$ qui vaut $\varphi(h_0)=2\sqrt{M_0M_2}$. Ainsi $M_1\le g(h_0)=2\sqrt{M_0M_2}$.

Exercice: Soit $I$ un ouvert de $\mathbb{R}$ tel que $0\in I$ et $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé. De plus, soit $f:I\mapsto E$ une application continue en $0$ telle que $f(0)=0$ et que la quantité \begin{align*} \frac{f(2x)-f(x)}{x}\end{align*} admette une limite $\ell$  quand $x$ tend vers $0$. Montrer que $f$ est dérivable en $0$. (Indication: utiliser la fonction $g(x)=f(x)-\ell x$).

Solution:  Il suffit donc de montrer que $g$ est dérivable en $0$. On a par définition de $g,$ elle est continue en $0,$ $g(0)=0,$ et pour tout $x\in I$ avec $x\neq 0,$ on \begin{align*}\frac{g(2x)-g(x)}{x}=\frac{f(2x)-f(x)}{x}-\ell\to 0\quad (x\to 0).\end{align*} Ainsi pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $\delta>0,$ tel que $[-\delta,\delta]\subset I,$ et pour tout $x\in [-\delta,\delta]$ on a \begin{align*} \|g(2x)-g(x)\|\le \varepsilon \|x\|.\end{align*} Remarquons que pour tout $n\in\mathbb{N},$ pour tout $x\in [-\delta,\delta]$ on a $2^{-n}x\in [-\delta,\delta]$. Donc \begin{align*} \|g(2^{1-n}x)-g(2^{-n}x)\|\le \varepsilon 2^{-n} \|x\|.\end{align*} On utilisant une inégalité triangulaire, on l’estimation suivante \begin{align*}  \|g(x)-g(2^{-n}x)\|&=\left\| \sum_{k=1}^n(g(2^{1-k}x)-g(2^{-k}x))\right\|\cr & \le \varepsilon \left(\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k\right)\|x\|= \frac{\varepsilon}{2}\frac{1-2^{-n}}{1-\frac{1}{2}}\|x\|\cr & \le \varepsilon \|x\|.\end{align*} Puisque $g(2^{-n}x)\to 0,$ alors pour tout $x\in [-\delta,\delta]$ on a $\|g(x)\|\le \varepsilon$. Donc $g$ est dérivable en $0,$ et $g'(0)=0$. Par suite $f'(0)=\ell$.

Exponentielle d’une matrice et problème de Cauchy vectorielles

Exercice: Soient $A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$, $x_0\in \mathbb{R}^n$ et soit la fonction vectorielle $u:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^n$ définie par \begin{align*}u(t)=e^{tA}x_0;=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k}{k!}A^k,\qquad t\ge 0.\end{align*}

1. Montrer que l’application vectorielle $u$ est bien définie.
2. Montrer que $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et que $u$ est solution du problème de Cauchy linéaire \begin{align*} \dot{u}(t)=Au(t),\quad u(0)=x_0,\quad t>0.\end{align*}
3.  Soit $\lambda\in\mathbb{C}$ tel que ${\rm Re}\lambda>\|A\|$. Montrer que $(\lambda I_n-A)^{-1}$ existe et que \begin{align*} (\lambda I_n-A)^{-1}x_0=\int^{+\infty}_0 e^{\lambda t}u(t)dt.\end{align*}