Exercices d'analyse fonctionnelle moderne

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On propose des exercices d’analyse fonctionnelle moderne. En effet, on donne des applications des grands théorème d’analyse fonctionnelle. En particulier, les théorèmes de Hahn-Banach et Banach-Steinhaus.

Exercice: Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach. On note par $E’=\mathcal{L}(E,\mathbb{K})$ et $F’=\mathcal{L}(F,\mathbb{K})$ (duals topologique de $E$ et $F$). Soit $T:E\to F$ une application linéaire telle que pour toute forme linéaire $\varphi\in F’$ on a $\varphi\circ T\in E’$. Montrer que $T$ est continue.

Solution: Il suffit de montrer que si $(x_n)_n\subset E$ et $x\in E$ tels que $x_n\to x$ et $T(x_n)\to y$ alors $y=T(x)$. En effet, comme par hypothèse pour tout $\varphi\in F’,$ $\varphi\circ T$ est continue alors $(\varphi\circ T)(x_n)\to (\varphi\circ T)(x)$ et $\varphi(T(x_n))\to \varphi(y)$. D’après le théorème de Hahn-Banach $F’$ sépare les points de $F,$ donc $y=T(x)$. Ainsi, d-après de théorème du graphe fermé, $T$ est continue.

Exercice: Soit $H$ un espace de Hilbert et $T:H\to H$ linéaire telle que\begin{align*}\langle x,T(y)\rangle=\langle T(x),y\rangle,\qquad \forall x,y\in H.\end{align*}Monter que $T$ est continue.

Solution: Ici on va utiliser le résultat de la question (1). Soint $\varphi\in H’$. Comme $H$ est un Hilbert, par le théorème de Riesz, il existe $a\in H$ unique tel que $\varphi(x)=\langle x,a\rangle$ pour tout $x\in H$. Donc $(\varphi\circ T)(x)=\varphi(T(x))=\langle T(x),a\rangle$. Et par hypthèse on a alors $(\varphi\circ T)(x)=\langle x,T(a)\rangle$. Ceci implique (par Cauchy Schwarz inégalité) que $\varphi\circ T\in H’$. En conclu par l’utilisation de l’exercice précèdent.

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