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Espaces normés de dimension finie

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Des exercices corrigés sur les espaces normés de dimension finie sont proposés. Ces espaces interviennent en calcul différentiel (fonctions de plusieurs variables). En mettant l’accent sur l’équivalence des normes, ouvertes et compactes.

Exercices sur les espaces normés de dimension finie

Exercice: Soit $\mathbb{R}^n$ muni de la norme $|\cdot|_2$. La boule fermée de centre $a\in\mathbb{R}^n$ est de rayon $r>0$ est définie par\begin{align*}\overline{B}(a,r):=\left\{x\in\mathbb{R}^n:|x-a|_2\le r\right\}.\end{align*}Soit maintenant l’ensemble\begin{align*}A:=\bigcup_{j=1}^n \left(\overline{B}(e_j,1)\cup \overline{B}(-e_j,1)\right)\end{align*}

  1. Montrer que $x\in A$ si et seulement si $|x|^2_2\le 2 |x|_\infty$.
  2. Montrer que $\overline{B}(0,r)\subset A$ si et seulement si $r\le \frac{2}{\sqrt{n}}$.

Solution:

  1. Soit $x\in A$ donc il existe $j\in\{1,2,\cdots,n\}$ tel que\begin{align*}|x-e_j|_2\le 1\quad\text{ou}\quad |x+e_j|_2\le 1.\end{align*}Si $|x-e_j|-2\le 1$, alors on a\begin{align*}|x-e_j|^2&=|x|^2_2-2\langle x,e_j\rangle+ |e_j|^2_2\cr & =|x|^2_2-2x_j+ 1.\end{align*}Alors forcément $|x|^2_2-2x_j\le 0,$ et donc $|x|^2_2\le 2 |x|_\infty$. Le reste de la question ce trait de la même façon.
  2. Supposons que $\overline{B}(0,r)\subset A$. Remarquons que pour tout $n\ge 1$ on a\begin{align*}x:=\left(\frac{r}{\sqrt{n}},\frac{r}{\sqrt{n}},\cdots,\frac{r}{\sqrt{n}}\right)\in \overline{B}(0,r).\end{align*}Donc $x\in A,$ et d’après la question 1, on a aussi $|x|^2_2\le 2 |x|_\infty$, soit $r^2\le 2 \frac{r}{\sqrt{n}}$. Ainsi $r\le \frac{2}{\sqrt{n}}$. Inversement, par comparaison des normes on a $|x|_2\le \sqrt{n}|x|_\infty$ pour tout $x\in\mathbb{R}^n$. Maintenant, soit $x\in \overline{B}(0,r)$, alors on a $|x|_2\le r$. Comme par hypothèse $r\le \frac{2}{\sqrt{n}}$, alors $|x|_2\le \frac{2}{\sqrt{n}}$. Ce qui implique que\begin{align*}|x|^2_2&= |x|_2\times |x|_2\cr & \le \frac{2}{\sqrt{n}}\;\sqrt{n}|x|_\infty\cr & \le 2 |x|_\infty.\end{align*}Ainsi, d’après la question 1 on $x\in A$.

L’exercice suivant est un des classiques de la topologie des espaces normés de dimension finie. Il est très utile pour les équations différentielles non linéaires où la notion de fonctions localement lipschitziennes est nécessaire.

Exercice: Soit $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ avec $d\in \mathbb{N}^\ast$. On muni $\mathbb{R}$ par une norme habituelle. Une fonction $f:\Omega\to \mathbb{R}^d$ est dite localement lipschitzienne sur $\Omega$ si pour tout $w\in \Omega$ il existe un voisinage $V_w$ de $w$, et il existe une constante $C>0$ telle que \begin{align*} \|f(x)-f(y)\|\le C \|x-y\|,\quad \forall x,y\in V_w.\end{align*} On suppose que $\Omega$ est compact de $\mathbb{R}^d$ et que $f$ est  localement lipschitzienne sur $\Omega$. Montrer que $f$ est aussi globalement lipschitzienne sur $\Omega$, i.e. \begin{align*}\tag{$\ast$} \|f(x)-f(y)\|\le C \|x-y\|,\quad \forall x,y\in\Omega.\end{align*}

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