Exercices corrigés sur la diagonalisation des matrices

Nous proposons des exercices corrigés sur la diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.

Exercice:

  1. Soient $A$ et $B$ deux matrice carrées d’ordre $d$. De plus, soit $J$ une matrice carrée inversible d’ordre $d$ telle que \begin{align*}A=J B J^{-1}.\end{align*}Montrons que pour tout $ n\in \mathbb{N} $, on a:\begin{align*}A^{n}=JB^{n} J^{-1}.\end{align*}
  2. \begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\end{align*}Calculer $ A^{n} $.

Solution:

  1. Soient $ A,B $ et $ J $ trois matrices carrées avec $ J $ une matrice inversible, et telle que on a: $A=J B J^{-1}.$ Notons $ (P_n) $ la propriété à démontrer, et faisons un raisonnement par récurrence sur n. La propriété $ (P_1) $ est vraie par hypothèse. Supposons que, pour $ n $ entier naturel quelconque, $(P_n)$ soit vraie, et démontrons qu’alors $ (Pn+1) $ est vraie. On a:\begin{align*}A^{n+1}&= A^{n}A \cr &= (J B^{n}J^{-1})(JBJ^{-1})\cr &=J B^{n}B J^{-1} =J B^{n+1}J^{-1}.\end{align*}D’où par récurrence la propriété $(P_n)$ est donc démontrée pour tout entier naturel $n$.
  2. Tout d’abord on diagonaliser la matrice\begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\end{align*}-c’est à dire- déterminons une matrice inversible $ J$ telle que $ J^{-1}AJ $ soit diagonal. Pour se faire, on calcule premièrement le polynôme caractéristique de $ A $ comme suit\begin{align*}P_{A}(X)&=\begin{vmatrix} X-1 & -1 & 0 \\ -1 & X-1 & -1 \\ 0 & 0 & X+1 \end{vmatrix} \cr &= (X-1) \begin{vmatrix} X-1 & -1 \\ 0 & X+1 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & X+1 \end{vmatrix}\cr &= X(X+1)(X-2).\end{align*}On constate que $ 0 ,-1$ et $ 2 $ sont trois racines simple du polynôme caractéristique $ P_{A} $. Il en résulte que la matrice $ A $ admet trois valeurs propres et qu’elle est diagonalisable. Après avoir compter les racines du polynôme caractéristique de la matrice $ A $, la deuxième étape est de déterminer les sous-espaces propres associées aux valeurs propres $ 0,-1 $ et $ 3 $. En effet, soit $ X= \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{pmatrix}^{\top}$ on a le sous-espace propre associée à $ 0 $ est donnée par: $$ AX=0. $$ On obtient\begin{align*}\begin{cases} x_{1}+x_{2 }= 0\\ x_{1}+x_{2 } + x_{3} =0\\- x_{3} = 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_{2}= – x_{1}\\x_{3} = 0 \end{cases}.\end{align*} On en déduit le sous-espace propre associée à la valeur propre $ 0 $:\begin{align*}E_{0}(A)=\text{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}\right\}.\end{align*}De même par un calcule similaire on trouve les sous-espaces propres associées aux valeurs propres $ -1 $ et $ 2 $, respectivement: $$E_{-1}(A)=\text{Vect}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\3 \end{pmatrix}\right\} \qquad \text{et } \qquad E_{2}(A)=\text{Vect}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}\right\}. $$ Les colonnes ainsi obtenu déterminent une base de vecteurs propres de l’endomorphisme canonique associé à $ A $. Considérons la matrice constituée par ces colonnes: $$ J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}. $$Observons que la matrice $ J $ est inversible car c’est la matrice de passage de la base canonique de $ \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}) $ à une base de vecteurs propres. Ainsi, la formule de changement de base donne: $$ A=J DJ^{-1}\qquad \text{avec} \qquad D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$Maintenant en appliquant l’affirmation de la question (1) on obtient: $$ A^{n}=JD^{n} J^{-1} \qquad \text{avec} \qquad D^{n}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 2^{n} \end{pmatrix}. $$ D’autre part, on a l’inverse de la matrice de passage $ J $ est donnée: $$ J=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}. $$ On en déduit: $$ A^{n}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 2^{n}.3 & 2^{n}.3 & (-1)^{n}.2+2^{n} \\ 2^{n}.3 & 2^{n}.3 & (-1)^{n}.(-4)+2^{n+1} \\ 0 & 0 & (-1)^{n}.6 \end{pmatrix}. $$

Exercice: Soit $ (u_{n}) $ une suite réelle vérifiant, pour tout $ n\in \mathbb{N} $, $$ u_{n+3}+3u_{n+2}-u_{n+1}-3u_{n}=0. $$ Pour tout $ n\in \mathbb{N} $, on pose \begin{align*}X_n=\begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\\u_{n+2}\end{pmatrix}.\end{align*}

  1. Déterminer une matrice $A$ d’ordre $3$ tel que $ X_{n+1}=AX_{n}.$.
  2. Diagonaliser la matrice $ A $ et en déduire une expression de $ A^{n} $ valable pour $ n\in\mathbb{N}$.
  3. Exprimer $ u_{n} $ en fonction de $ u_{0},u_{1},u_{2} $ et de $ n\in \mathbb{N}$.

Solution:

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