Découvrons ensemble une plateforme d’exercices corrigés sur le groupe symétrique. Plongeons-nous dans le monde des permutations et du groupe symétrique avec une série d’exercices stimulants qui mettront vos compétences à l’épreuve. Que vous soyez débutants ou experts, préparez-vous à découvrir les subtilités et les mystères de ce domaine passionnant. Attachez vos ceintures, c’est parti !
Série d’exercices corrigés sur le groupe symétrique
Le Carré Magique des Permutations
Soit $$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.$$ Calculez $\sigma^2$, $\sigma^3$, et déterminez si $\sigma$ est une permutation paire ou impaire.
Calculons les puissances de $\sigma$ : \begin{align*}\sigma^2 &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\cr & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\end{align*} et \begin{align*}\sigma^3 &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\cr &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.\end{align*}
La permutation $\sigma$ est impaire, car elle nécessite deux transpositions pour être décomposée en cycles : $$ \sigma=\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}.$$
Ordonner les Permutations
Soit $$\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$ et $$\beta = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}.$$ Calculez $\alpha \circ \beta$ et $\beta \circ \alpha$.
D’une part, \begin{align*}\alpha \circ \beta & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cr &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.\end{align*}
D’autre part, \begin{align*}\beta \circ \alpha &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}\cr & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}.\end{align*}
Remarque: On a $\alpha \circ \beta\neq \beta \circ \alpha$. Donc le groupe symétrique $S_3$ n’est pas commutatif, en général.
Soit $$\epsilon = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ Trouvez une permutation $\rho$ telle que $$\rho \circ \epsilon = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}.$$
Pour trouver la permutation $\rho$, nous devons déterminer comment la permutation $\epsilon$ modifie les éléments et ensuite essayer de restaurer l’ordre original à l’aide de $\rho$.
Nous pouvons voir que $\epsilon$ envoie 1 à 4, 2 à 3, 3 à 1 et 4 à 2. Pour obtenir la permutation $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$$, nous devons effectuer l’opération inverse sur chaque élément.
Cela signifie que nous devons échanger 2 et 4, et également échanger 1 et 3. Nous pouvons obtenir cela en composant deux transpositions : $(2\; 4)$ et $(1\; 3)$. Ainsi, la permutation $\rho$ recherchée est $\rho = (2\; 4)(1\; 3)$.
Décomposition en Cycles
Soit $$\gamma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 5 & 6 & 4 & 1 \end{pmatrix}.$$ Décomposez $\gamma$ en cycles disjoints et calculez $\gamma^{-1}$.
Pour décomposer la permutation $\gamma$ en cycles disjoints, nous devons suivre le mouvement de chaque élément jusqu’à ce qu’il revienne à sa position d’origine. Commençons avec le premier élément, 1 : $$ 1\overset{\gamma}{\longrightarrow}3\overset{\gamma}{\longrightarrow}5\overset{\gamma}{\longrightarrow}4\overset{\gamma}{\longrightarrow}6\overset{\gamma}{\longrightarrow}1.$$ Nous avons maintenant complété un cycle qui commence et se termine par 1. Continuons avec l’élément 2 :$$ 2\overset{\gamma}{\longrightarrow}2.$$ L’élément 2 reste en place, ce qui signifie qu’il forme un cycle à lui tout seul. Passons à l’élément 3 : $$ 3\overset{\gamma}{\longrightarrow}5\overset{\gamma}{\longrightarrow}4\overset{\gamma}{\longrightarrow}6\overset{\gamma}{\longrightarrow}1\overset{\gamma}{\longrightarrow}3.$$ Encore une fois, nous avons complété un cycle qui commence et se termine par 3. Continuons avec l’élément 4 : $$ 4\overset{\gamma}{\longrightarrow}6\overset{\gamma}{\longrightarrow}1\overset{\gamma}{\longrightarrow}3\overset{\gamma}{\longrightarrow}5\overset{\gamma}{\longrightarrow}4.$$ Un autre cycle est terminé. Continuons avec l’élément 5 : $$ 5\overset{\gamma}{\longrightarrow}4\overset{\gamma}{\longrightarrow}6\overset{\gamma}{\longrightarrow}1\overset{\gamma}{\longrightarrow}3\overset{\gamma}{\longrightarrow}5.$$ Encore un cycle achevé. Enfin, traitons l’élément 6 : $$ 6\overset{\gamma}{\longrightarrow}1\overset{\gamma}{\longrightarrow}3\overset{\gamma}{\longrightarrow}5\overset{\gamma}{\longrightarrow}4\overset{\gamma}{\longrightarrow}6.$$ Le dernier cycle est terminé. En résumé, nous avons décomposé la permutation $\gamma$ en cycles disjoints : $$ \gamma=\begin{pmatrix}1&3&5&4&6\end{pmatrix}(2).$$ Maintenant, calculons l’inverse de $\gamma$ en inversant l’ordre des éléments dans chaque cycle : $$ \gamma^{-1}=\begin{pmatrix}6&4&5&3&1\end{pmatrix}(2).$$ Et voilà ! Nous avons décomposé la permutation $\gamma$ en cycles disjoints et calculé son inverse $\gamma^{-1}$.
Dans la suite en donner des exercices corrigés sur le groupe symétrique qui sont un peut difficiles.
Automorphismes et Centre du Groupe
Soit $$\delta = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 5 & 1 & 4 \end{pmatrix}.$$ Trouvez un automorphisme $\phi$ du groupe symétrique $S_5$ tel que $\phi(\delta) = \delta^{-1}$.
Un automorphisme d’un groupe $G$ est un isomorphisme de $G$ sur lui-même. Autrement dit, c’est une fonction bijective $\phi : G \to G$ qui préserve la structure du groupe. Pour résoudre cet exercice, nous allons trouver un automorphisme $\phi$ du groupe symétrique $S_5$ tel que $\phi(\delta) = \delta^{-1}$.
Commençons par analyser la permutation $\delta$ : $$ \delta=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&5&1&4\end{pmatrix}.$$ Commençons par analyser la permutation $\delta$ : $$ \delta^{-1}= \begin{pmatrix}2&3&5&1&4\\ 1&2&3&4&5\end{pmatrix}.$$
Maintenant, pour construire l’automorphisme $\phi$ recherché, nous allons choisir une permutation $\tau$ qui envoie $\delta$ à $\delta^{-1}$. En d’autres termes, nous voulons que $\phi(\delta) = \delta^{-1}$.
L’une des manières de faire cela est de choisir $\tau$ comme la permutation qui inverse les éléments. C’est-à-dire, $\tau$ envoie chaque élément $x$ à son inverse $x^{-1}$. Par conséquent, $\tau$ envoie $\delta$ à $\delta^{-1}$.
Maintenant, nous pouvons définir l’automorphisme $\phi$ comme suit : $$ \phi: S_5\to S_5,\quad \phi(\sigma)=\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}.$$ Cela signifie que $\phi$ envoie une permutation $\sigma$ à sa conjugaison par $\tau$. En d’autres termes, $\phi(\sigma)$ est obtenue en appliquant $\sigma$ puis en inversant les éléments avec $\tau$, et enfin en réappliquant $\tau$.
En utilisant $\tau$ comme décrit précédemment, nous avons : $$\phi(\delta)=\tau\circ\delta\circ\tau^{-1}=\delta^{-1}. $$ Ainsi, $\phi$ est l’automorphisme que nous cherchions, car il envoie la permutation $\delta$ à son inverse $\delta^{-1}$.
