Dans cet article intitulé « famille libre exercices corrigés », nous offrons un rappel complet sur la définition de la famille libre, ainsi que ses propriétés essentielles. En plus de cela, nous fournissons une collection d’exercices soigneusement choisis, accompagnés de leurs solutions détaillées, pour permettre aux lecteurs de mettre en pratique leurs connaissances. Ces exercices corrigés constituent une ressource précieuse pour consolider et approfondir la compréhension de ce concept fondamental. Qu’il s’agisse de débutants cherchant à maîtriser les bases ou d’étudiants plus avancés souhaitant se perfectionner, cet article est un outil inestimable pour renforcer les compétences et progresser dans le domaine des familles libres.
Nous nous intéressons aux familles libres dans le cadre des espaces vectoriels. Plus précisément, nous considérons un espace vectoriel $E$ sur un corps K, où K peut être le corps des réels $\mathbb{R}$ ou le corps des complexes $\mathbb{C}$.
C’est quoi une famille libre de vecteurs
Une famille de vecteurs $\{v_1, v_2, \cdots, v_n\}$ dans un espace vectoriel $E$ est dite libre ou linéairement indépendante si, pour tout ensemble de scalaires $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ dans un corps $K$, la condition $\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \cdots + \lambda_nv_n = 0$ implique nécessairement que $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0$. En d’autres termes, les seules combinaisons linéaires des vecteurs qui donnent le vecteur nul sont celles où tous les coefficients scalaires sont nuls.
Une conséquence de cette définition est que si un vecteur $x \in E$ peut être exprimé de deux manières différentes, c’est-à-dire $x = \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \cdots + \lambda_nv_n$ et $x = \mu_1v_1 + \lambda_2v_2 + \cdots + \mu_nv_n$, alors l’égalité suivante est satisfaite : $ (\lambda_1-\mu_1)v_1 + \cdots + (\lambda_n-\mu_n)v_n = 0.$
Puisque la famille de vecteurs est libre, selon la définition, cela implique que $\lambda_1-\mu_1=\cdots=\lambda_n-\mu_n=0.$ Ainsi, on en déduit que $\lambda_1=\mu_1$, …, et $\lambda_n=\mu_n$. Par conséquent, la famille libre représente l’unicité des coefficients dans l’écriture en combinaisons linéaires des vecteurs dans un espace vectoriel.
Famille libre: exercices corriges
Exercice 1: Soit $E$ un espace vectoriel et considérons la famille de vecteurs ${v_1, v_2, v_3}$ dans $E$ définie par :$$v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$$ Montrez que cette famille est libre.
Correction: Supposons que la famille $\{v_1, v_2, v_3\}$ ne soit pas libre. Cela signifie qu’il existe des scalaires $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$, non tous nuls, tels que l’équation suivante soit satisfaite : $$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = \mathbf{0},$$ où $\mathbf{0}$ est le vecteur nul. En effectuant les calculs, nous avons : $$\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ Cela donne le système d’équations linéaires suivant : $$\begin{cases} \lambda_1 – \lambda_2 + 3\lambda_3 = 0, \\ 2\lambda_1 + 2\lambda_3 = 0, \\ 3\lambda_1 + 2\lambda_2 + \lambda_3 = 0. \end{cases}$$ En résolvant ce système, nous trouvons la solution unique $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$. Cela signifie que les seuls coefficients qui satisfont l’équation sont tous nuls. Par conséquent, la famille $\{v_1, v_2, v_3\}$ est libre.
Exercice 2: Soit $V$ l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 avec des coefficients réels, et considérons les polynômes suivants : $$p_1(x) = 2x^2 – x + 1, \quad p_2(x) = -x^2 + 3x – 2, \quad p_3(x) = 4x^2 – 5.$$ Montrez que la famille $\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\}$ est libre.
Correction: Supposons que la famille $\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\}$ ne soit pas libre. Cela signifie qu’il existe des scalaires $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$, non tous nuls, tels que l’équation suivante soit satisfaite pour tout $x$ : $$\lambda_1 p_1(x) + \lambda_2 p_2(x) + \lambda_3 p_3(x) = 0.$$ En évaluant cette équation pour différentes valeurs de $x$, nous obtenons le système d’équations suivant : $$\begin{cases} 2\lambda_1 – \lambda_2 + 4\lambda_3 = 0, \\ -\lambda_1 + 3\lambda_2 = 0, \\ \lambda_1 – 2\lambda_2 = 0. \end{cases}$$ En résolvant ce système, nous trouvons la solution unique $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$. Cela signifie que les seuls coefficients qui satisfont l’équation sont tous nuls. Par conséquent, la famille $\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\}$ est libre dans $V$.
