Dans cet article, nous allons explorer les critères de convergence des séries numériques les plus courants, accompagnés d’exemples illustratifs pour chacune des méthodes.
Critères de convergence des séries numériques
La convergence des séries numériques est un concept crucial qui permet de déterminer si une série converge vers une limite finie ou si elle diverge vers l’infini.
Critère de Convergence: utilisation de la définition
Une série numérique de terme général $u_n$ est convergente si la suite des sommes partielles $$ S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$$ est convergente vers un nombre réel. Dans le cas contraire la série est dite divergente (i.e. si la limite de $S_n$ est $\pm\infty$ a l’infini, ou si la suite $S_n$ n’admet pas de limite. La convergence des séries numériques est simple a vérifier en utilisant la définition si le terme général de la série n’est pas compliquer. Dans ce cas on peut même savoir la valeur de la série.
Exemple: Soit $a\in ]-1,1[$ et soit la série géométrique est convergente et $$ \sum_{n=0}^{+\infty} a^n=\frac{1}{1-a}.$$
La suite des sommes partielles associée a la série géométrique est $$ S_n=1+a+\cdots+a^n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$$ De plus, comme $|a|<1$, alors $a^{n+1}\to 0$ quand $n\to\infty$. Par conséquent $S_n\to \frac{1}{1-a}$ quand $n\to\infty$. D’où le résultat.
Utilisation du terme général de la série
Au lieu de montrer la convergence des séries numériques, parfois c’est la divergence qu’il faut montrer. En effet, soit $\sum_n u_n $ une série numérique et soit $S_n$ la suite des sommes partielles associée. Comme $u_n=S_{n+1}-S_n$, alors une condition nécessaire pour la convergence de la série est $u_n\to 0$ quand $n\to\infty$. Cette remarque peut seulement utiliser pour montrer que certaines séries sont divergentes. En fait, il faut faire attention car la série harmonique $\sum_n \frac{1}{n}$ est divergente et portant son terme général $\frac{1}{n}$ tend vers zéro a l’infini!!
Exemples: Les séries suivantes sont divergentes \begin{align*}&\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3n+5}{n+1},\quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n\sin(\frac{1}{n})}\cr & \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n.\end{align*}
$\bullet$ Remarquons que $$ \lim_{n\to\infty} \frac{3n+5}{n+1}=3.$$ Dans la série est divergent.
$\bullet$ On sait que $$ \lim_{h\to 0}\frac{h}{\sin(h)}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1$$. Donc $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n\sin(\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n}}{\sin(\frac{1}{n})}=1.$$ Par suite la serie en question est divergente.
$\bullet$ Rappelant que $(-1)^n=1$ si $n$ est paire et égale à $-1$ si $n$ est impaire. Considérons la suite $(-1)^n$. Cette suite oscille entre les valeurs de $1$ et $-1$ sans jamais converger vers une limite. Par conséquent, la série $\sum_n (-1)^n$ est divergente.
Il est important de noter qu’il ne faut pas tomber dans le piège de dire que cette série est égale à zéro, simplement parce qu’elle est constituée d’alternances entre $1$ et $-1$. Affirmer que cette série est égale à zéro serait incorrect, car une somme infinie de zéros aurait une signification différente. En réalité, la série $\sum_n (-1)^n$ est dite divergente car elle ne converge pas vers une valeur finie. Elle ne s’additionne pas pour donner une somme constante, et il n’est pas possible de lui attribuer une valeur numérique unique.
La divergence de cette série est un exemple crucial pour comprendre qu’une série numérique ne peut pas être évaluée simplement en regardant ses termes individuels. La convergence d’une série dépend de la façon dont les termes s’accumulent à l’infini, et dans ce cas, les oscillations entre $1$ et $-1$ empêchent la série de converger.
Critère de Convergence : Test de Comparaison par Majoration
Le test de la comparaison est utile pour déterminer la convergence d’une série en la comparant à une série de référence dont la convergence est déjà connue. Deux cas de figures
- Si $0\le a_n\le b_n$ pour tout $n$, et si la série $\sum_n b_n$ converge, alors il en est de même pour la série $\sum_n a_n$. Ce résultat est connu sous le nom de critère de comparaison, et il est extrêmement utile pour établir la convergence d’une série lorsque nous pouvons trouver une autre série dont la convergence est déjà établie et qui est majorée par la série donnée.
- Si $0\le c_n\le a_n$ pour tout $n$ et si la serie $\sum_n c_n$ diverge, alors la serie $\sum_n a_n$ diverge aussi.
Remarque: Si nous ne disposons pas d’informations sur la positivité du terme général de la série, nous pouvons appliquer le test de comparaison par majoration à la série des valeurs absolues $\sum_n |u_n|$. Ceci est dû au fait que toute série absolument convergente est également convergente. D’autre part souvent on compact la série avec des séries convergentes connues comme la série de Riemann et la série géométrique, et des série divergentes comme la série harmonique.
Exemple: Etudier la convergence des séries numériques suivantes: \begin{align*}& \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\sin(\frac{1}{n}),\quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\sin(\frac{1}{\sqrt[3]{n}})\cr & \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{a}\right)^{\sqrt{n}} \quad (a>1).\end{align*}
$\bullet$ L’astuce est d’utiliser la majoration $|\sin(x)|\le |x|$ pour tout $x$ réel. Ainsi pour tout $n\ge 1,$ on a \begin{align*} \left| \frac{1}{n}\sin(\frac{1}{n})\right| \le \frac{1}{n^2}.\end{align*} Comme la série de Riemann $\sum_n \frac{1}{n^2}$ est convergence, alors notre série est convergente. Une remarque c’est que on peut montrer ce résultat autrement si on connait le critère d’équivalence pour les séries (voir la prochaine section). En effet on a $\sin(\frac{1}{n})\ge 0$ et $\sin(\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n}$, et donc $\frac{1}{n}\sin(\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n^2}$. Donc notre série a même nature que la série de Riemann de terme général $\frac{1}{n^2}$, qui est convergente.
$\bullet$ Ici, il faut faire preuve de prudence, car la méthode utilisée dans la question précédente ne fonctionne pas. En effet, la majoration précédente permet de borner le terme général de la série par une série de Riemann (de terme général $\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$), qui est divergente. Par conséquent, nous ne pouvons pas appliquer le critère de comparaison pour conclure sur la convergence de la série d’origine. Il est donc nécessaire de chercher une autre méthode pour étudier cette série. Pour ce faire, calculons \begin{align*} n \frac{1}{\sqrt{n}}\sin(\frac{1} {\sqrt[3]{n}})= n^{\frac{1}{6}} \frac{\sin(\frac{1} {\sqrt[3]{n}})}{\frac{1} {\sqrt[3]{n}}}.\end{align*} Alors on a $$ \lim_{n\to+\infty} n\; \frac{1}{\sqrt{n}}\sin(\frac{1} {\sqrt[3]{n}})=\lim_{n\to+\infty}n=+\infty.$$ Par application de la definition de la limite, il existe un rang $N\in\mathbb{N}$ assez grand tel que $$ \frac{1}{n}< \frac{1}{\sqrt{n}}\sin(\frac{1}{\sqrt[3]{n}}),\quad \forall n\ge N.$$ Ainsi la d’origine est divergente, car elle est minorée par une série harmonique divergente.
$\bullet$ On a \begin{align*} n^2 \left( \frac{1}{a}\right)^{\sqrt{n}}&= e^{2\ln(n)-\sqrt{n}\ln(a)}\cr &= e^{-\sqrt{n} \left(\ln(a)-2\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}\right)}.\end{align*} Comme $\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}\to 0$ quand $n\to\infty$ et que $\ln(a)>0$ (car $a>1$), alors on a \begin{align*}\lim_{n\to\infty} n^2 \left( \frac{1}{a}\right)^{\sqrt{n}}&=0.\end{align*} Ainsi par application de la definition de la limite, alors il existe $n_0\in\mathbb{N}$ tel que $$ \left( \frac{1}{a}\right)^{\sqrt{n}}\le \frac{1}{n^2},\quad \forall n\ge n_0.$$ Par suite, notre série est convergente par comparaison avec une série de Riemann convergente.
Convergence des séries numériques: critère d’équivalence
Rappelons qu’en mathématiques, deux suites sont dites équivalentes lorsque le rapport de leurs termes converge vers une constante lorsque l’indice tend vers l’infini. Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)_n$ sont équivalentes, en écrit alors $u_n \sim v_n$.
Règle: Si les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont le même signe et si $u_n \sim v_n$, alors les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ ont la même nature, c’est-à-dire qu’elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes.
Exemple: Etudier la nature de la séries de terme général $$ u_n=\left( \frac{n+1}{n}\right)^{n^2}.$$
Pour étudier la convergence de cette série, commençons par manipuler le terme général en utilisant les propriétés des logarithmes et des limites. Nous avons: \begin{align*} u_n &= \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2} \cr &= e^{n^2 \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)} \quad \text{(en utilisant la fonction exponentielle)} \cr &= e^{-n^2 \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} \quad \text{(en simplifiant le logarithme)}. \end{align*} Maintenant, nous pouvons utiliser le développement limité de la fonction $x\mapsto \ln(1+x)$ autour de $0$ à l’ordre $2$:$$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\circ(x^2).$$ En appliquant ce résultat, nous obtenons:\begin{align*} u_n &= e^{n^2\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\circ\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)} \ &= e^{-n+\frac{1}{2}+\circ(1)}. \end{align*}Ainsi, on peut écrire: $$ u_n\sim e^{\frac{1}{2}} e^{-n}.$$ Comme $e^{-1}\in ]0,1[$ alors la série géométrique $\sum_{n} e^{-n}$ est convergente. Par conséquent et par critère d’équivalence, la série $\sum_n u_n$ converge.
Comparaison à une intégrale
La méthode de comparaison à une intégrale est un outil puissant pour étudier la convergence des séries numériques. Cette méthode consiste à établir une comparaison entre les termes de la série et les valeurs d’une intégrale pour déterminer si la série est convergente ou divergente.
Soit $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ une série à termes positifs (tous les termes $a_n$ sont positifs pour tout $n$). Pour utiliser la comparaison à une intégrale, nous devons vérifier que la fonction $f(x) = a_x$ est positive, décroissante et continue sur l’intervalle $[1, \infty)$. Si ces conditions sont satisfaites, alors nous pouvons comparer la série avec l’intégrale définie par : $$\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{1}^{\infty} a_x \, dx. $$
Si l’intégrale $\int_{1}^{\infty} f(x) , dx$ converge, alors la série $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge également. Si l’intégrale diverge, alors la série diverge.
Pour illustrer l’utilisation de cette méthode, considérons l’exemple suivant:
Montrer que la série de Riemann $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$ est convergente.
Nous pouvons comparer les termes de cette série avec la fonction $f(x) = \frac{1}{x^2}$, qui est positive, décroissante et continue sur l’intervalle $[1, \infty)$. En utilisant la comparaison à une intégrale, nous avons : \begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx &= \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} \, dx \cr &= \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{t} \cr &= \lim_{t \to \infty} \left(-\frac{1}{t} + \frac{1}{1}\right) = 1. \end{align*} Puisque l’intégrale $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} , dx$ converge, la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge également.
D’autres critère de convergence des séries numériques
Il existe deux autres critères de convergence des séries numériques qui méritent un article à part : le critère de d’Alembert et le critère de Cauchy. Ces critères sont des outils importants pour étudier la convergence des séries lorsque les critères de comparaison et du rapport ne sont pas applicables ou difficiles à utiliser.
Règle de d’Alembert pour la convergence des séries numériques
Le critère de d’Alembert, également connu sous le nom de critère du rapport, est utilisé pour déterminer la convergence d’une série à termes positifs. Si la limite du rapport des termes consécutifs de la série est strictement inférieure à $1$, c’est-à-dire que $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$, alors la série converge. Si cette limite est strictement supérieure à $1$, c’est-à-dire que $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$, alors la série diverge. Si la limite est égale à $1$ ou si elle n’existe pas, le critère est inconclusif.
Règle de Cauchy pour les séries numériques
Le critère de Cauchy, également connu sous le test de la racine est défini comme suis: $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1$, alors la série $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge absolument, et donc converge. Si $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} > 1$, alors la série diverge. Si $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1$ ou si la limite n’existe pas, le critère est inconclusif.
Il est important de noter que les critères de d’Alembert et de Cauchy sont des critères de convergence, ce qui signifie qu’ils permettent de déterminer si une série converge ou diverge, mais ils ne donnent pas d’information sur la somme de la série convergente.
Pour approfondir votre compréhension des séries numériques et des critères de convergence, vous pouvez consulter notre site web où vous trouverez un autre article dédié aux séries, incluant plusieurs exercices avec des solutions détaillées. Ces exercices vous aideront à vous entraîner et à maîtriser l’utilisation des différents critères de convergence, ainsi qu’à renforcer votre compréhension globale du sujet.
En résumé, les critères de d’Alembert et de Cauchy sont deux outils importants pour étudier la convergence des séries numériques. Ils complètent les critères de comparaison et du rapport, offrant ainsi une variété de méthodes pour analyser les séries. Pour approfondir vos connaissances sur les séries, n’hésitez pas à explorer notre site web où vous trouverez des articles et des exercices pour renforcer votre compréhension de ce sujet fascinant en mathématiques.
